Etikettarkiv: Fysik

Rita med Fourier

Upprepade gånger under det senaste året när jag har öppnat min favoritsida att prokrastinera på, YouTube, dyker där upp konstigt fascinerande videor om Fourierserier. Som fysiker borde det ju vara en självklarhet att de intresserar, men de råkar höra till en elitgrupp av koncept som lätt passar in på subredditen r/oddlysatisfying för allmänheten att drägla över. Ifall man vill ha exempel direkt från kungen på att visualisera matematik så har 3Blue1Brown gjort en video om Fouriertransform där han djupare förklarar den, men enkelt sagt så kan den dela upp signaler till frekvenserna de består av. Vad som nyligen fångade mitt intresse var att man kan använda Fouriertransform för att rita. Genom att göra tillräckligt många kontrollerade cirkelrörelser så har man en bild. SmarterEveryDay var i kontakt med en postdoc som kunde göra det och gjorde en video som också är värd att kolla på! Det här om någonting är varför Fouriers upptäckter är så viktiga. Vem bryr sig om radio och elektronik och alla wannabe viktiga tillämpningar som har att göra med signalprocessering när man istället kan rita katter. Men hur går det till? Genom att ta koordinaterna från en bild kan man räkna ut koefficienterna till Fouriertransform. Animerat i komplexa planet ser fyra termer ut så här: vilket kan beskrivas explicit med

\begin{aligned} &(-14.60 -1.25i) e^{2it} \\ + &(12.41 +13.86i) e^{1it} \\ + &( 6.32 -22.28i) e^{0it} \\ + &(-43.30 +34.76i) e^{-1it} \\ + &(-17.19 +27.46i) e^{-2it} \end{aligned}

De komplexa talen framför exponenten ger radien hos cirklarna och talet inuti exponenten säger hur fort cirkeln snurrar samt åt vilket håll (minus är medsols och plus är motsols). Mittpunkten för den innersta cirkeln är (6.32, -22.28i) eftersom e0*it=1. De komplexa koefficienterna framför exponenten kan räknas ut från integralen

c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) e^{-i n t} dt

där f(t) är bildens koordinater. Man summerar ihop alla termer som då baserar sig på diskret Fourier transform och det i sin tur ger alla tal för att rita valfri bild med cirklar!

z(t) = \sum_{n=-m}^{m} c_n e^{-i n t}

Man kan själv bestämma hur många termer man vill räkna ut, det blir noggrannare och tar längre desto större m. Det som animerades tidigare var baserat på en hoppeligen välkänd bild med m=2. Kan vi urskilja vad det är om man väljer m=75?


Oddly satisfying, right? God fortsättning!
Daniel

Isotoper och osannolika, sannolikt omöjliga isotopbyten

En isotop är en variant av ett grundämne med samma antal protoner i kärnan men olika antal neutroner. Detta betyder att isotoper av samma grundämne har olika atommassor. Isotoperna har lika, eller mycket liknande, kemiska egenskaper men olika fysikaliska egenskaper. En av de mest omtalade isotoperna är kolets isotop 14. Kol-14, eller C-14, har 6 protoner och 8 neutroner och har en halveringstid på 5730 år. Det är denna egenskap som har gett C-14 dess berömmelse. Isotopen sönderfaller, dvs. den är inte stabil och halveringstiden används för att åldersbestämma exempelvis arkeologiska fynd och fossiler.

Kol har dock en annan isotop som enligt mig har fått alldeles för lite uppmärksamhet: kol-13. C-13 har 6 protoner, 7 neutroner och sönderfaller inte, den är stabil. Av allt kol på Jorden är ca 1,1 procent C-13 isotopen, medan 98,9 procent består av C-12. Forskare har gjort uppskattningen att Jorden består av ca 4,36*1021 kg kol eller 4,360 miljarder gigaton. Detta betyder att det totalt finns ungefär 2.19*1047 stycken kolatomer på Jorden av vilka 1,1 procent, eller 2,4*1047 stycken är isotopen C-13. Kol-12 har massan 12u (1u = 1,6605*1027kg) och C-13 har massan 13,003u. Förhållandet mellan C-12 och C-13 väger ytterligare till C-12s favör i levande organismer p.g.a. biomekaniska processer där den lättare isotopen C-12 är favoriserad.

Hittills har jag endast berättat fakta. Jag har gjort vissa approximeringar men allting har varit sanningsenlig information. Låt oss nu lämna denna tråkiga och korrekta världsbild. Låt oss anta en hypotetisk, osannolik och alternativ verklighet. En verklighet där bland annat massdifferensen mellan C-12 och C-13 är obetydlig för biomekaniska processer:

En människa som väger 70 kg består av ca 7*1027 atomer. Beroende på kön så är grundämnesfördelningen lite olika men genomsnittet är en kolhalt på ca 12 % vilket motsvarar 8,4*1026 atomer. Låt oss nu anta det ytterst osannolika scenariot där varenda av dessa kolatomer skulle vara av C-13 isotopen, istället för det ”normala” där mindre än 1% är C-13. Som tidigare nämnt är C-13 ca 1u tyngre än C-12. Detta skulle resultera i en massdifferens på 1,4 kg hos vår genomsnittsmänniska, utan att öka antalet atomer!

Vill vi ta flera osannolika isotopbyten i beaktande så byter vi ut den vanligaste stabila syreisotopen O-16 med den stabila O-18 isotopen. Det finns dock endast 0,2 % O-18 och, på samma sätt som C-13 är, är O-18 nedprioriterad i livsviktiga biologiska processer p.g.a. dess högre massa. Men vi ignorerar dessa faktum i detta scenario. O-18 har två neutroner fler än O-16 och väger således ca 2u eller 3,3*1027 kg mera. Vår genomsnittsmänniska består av ca 1,68*1027 syreatomer. Ifall alla dessa är isotop O-18, resulterar det i en massdifferens på 5,6 kg. Vår genomsnittsmänniska bestående av 7*1027 atomer och de tyngre isotoperna skulle väga 77 kg medan en människa med samma antal atomer men med den normala isotopkombinationen skulle väga 70 kg. Det är en massdifferens på 7 kg eller 10 procent!

Varför har jag beräknat och beskrivit detta ytterst osannolika och omöjliga scenario? För att ifall dina steg uppför backen till vårt campus känns lite extra tunga en grå och dyster vintermorgon, kan du trösta dig med att du kanske består av lite flera C-13 och O-18 isotoper än vanligt just den morgonen.

En kollision av rytmer

Hejssan!

Palles musikhörna är tillbaka med sin naturvetenskapligt inspirerade musik. Och vad tror ni är den vanligaste genren som folk gör låtar i då de försöker göra sitt vetenskapliga ämne coolt?

You guessed it, RAP!

Personligen är jag inget desto större fan av rapmusik, och låtar som denna får mig närmast att vilja krypa ner i ett hål om det behandlar ett ämne jag själv är mer insatt i. Å andra sidan, vad skulle man inte göra för att föra fram sin stora passion? Kan också tänka mig att de som gjort låten haft urkul vid produktionen, så det är inget fel med det heller.

Låten och videon är framställd av flera grupper som haft arbete eller intresse för CERN. Kolla in dem om LHC är din grej!

-Palle