Rita med Fourier

Upprepade gånger under det senaste året när jag har öppnat min favoritsida att prokrastinera på, YouTube, dyker där upp konstigt fascinerande videor om Fourierserier. Som fysiker borde det ju vara en självklarhet att de intresserar, men de råkar höra till en elitgrupp av koncept som lätt passar in på subredditen r/oddlysatisfying för allmänheten att drägla över. Ifall man vill ha exempel direkt från kungen på att visualisera matematik så har 3Blue1Brown gjort en video om Fouriertransform där han djupare förklarar den, men enkelt sagt så kan den dela upp signaler till frekvenserna de består av. Vad som nyligen fångade mitt intresse var att man kan använda Fouriertransform för att rita. Genom att göra tillräckligt många kontrollerade cirkelrörelser så har man en bild. SmarterEveryDay var i kontakt med en postdoc som kunde göra det och gjorde en video som också är värd att kolla på! Det här om någonting är varför Fouriers upptäckter är så viktiga. Vem bryr sig om radio och elektronik och alla wannabe viktiga tillämpningar som har att göra med signalprocessering när man istället kan rita katter. Men hur går det till? Genom att ta koordinaterna från en bild kan man räkna ut koefficienterna till Fouriertransform. Animerat i komplexa planet ser fyra termer ut så här: vilket kan beskrivas explicit med

\begin{aligned} &(-14.60 -1.25i) e^{2it} \\ + &(12.41 +13.86i) e^{1it} \\ + &( 6.32 -22.28i) e^{0it} \\ + &(-43.30 +34.76i) e^{-1it} \\ + &(-17.19 +27.46i) e^{-2it} \end{aligned}

De komplexa talen framför exponenten ger radien hos cirklarna och talet inuti exponenten säger hur fort cirkeln snurrar samt åt vilket håll (minus är medsols och plus är motsols). Mittpunkten för den innersta cirkeln är (6.32, -22.28i) eftersom e0*it=1. De komplexa koefficienterna framför exponenten kan räknas ut från integralen

c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) e^{-i n t} dt

där f(t) är bildens koordinater. Man summerar ihop alla termer som då baserar sig på diskret Fourier transform och det i sin tur ger alla tal för att rita valfri bild med cirklar!

z(t) = \sum_{n=-m}^{m} c_n e^{-i n t}

Man kan själv bestämma hur många termer man vill räkna ut, det blir noggrannare och tar längre desto större m. Det som animerades tidigare var baserat på en hoppeligen välkänd bild med m=2. Kan vi urskilja vad det är om man väljer m=75?


Oddly satisfying, right? God fortsättning!
Daniel

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *