Kategoriarkiv: 2019

Texter från 2019

2019, Vecktraklet

Introduktion till darts

1 kommentar

Inledning

Då jag lär mig nya sporter vill jag ofta betrakta dem ur ett matematiskt perspektiv. Darts är en gren som får mig att fundera på allt från algebra till spelteori, och därför vill jag ge en introduktion till hur man kan se på olika sporter och spel. Detta är främst en introduktion till spelformen 501, som är den absolut vanligaste spelformen när det gäller olika dartgrenar. I 501 startar man på 501 poäng varefter man ”kastar bort” poäng tills man når exakt 0. I artikeln kommer ”enheten” p att lämnas bort då man syftar på poäng.

Källa: https://en.wikipedia.org/wiki/Darts

Tavlan

Vi börjar med att gå genom några grundläggande saker då det gäller tavlan och poängräkning. Tavlan placeras så att bullen (mitten av tavlan) ligger på höjden 173 cm. På golvet markeras ett avstånd på 237 cm bakom vilket man måste kasta sina pilar. Tavlan är indelad i 20 lika stora numrerade sektorer (se bilden) som bestämmer hur många poäng sektorn är värd. Den yttersta ringen (dubbelringen) dubblar sektorns poäng och den inre ringen (trippelringen) ger tre gånger sektorns poäng. Exempelvis ett kast i trippelringen på sektor 8 ger 24. I mitten av tavlan finns bullen. Den består av den enkla bullen (gröna ringen) som ger 25 och den dubbla bullen (röda bollen) som ger 50.

501

501-matcher spelas en mot en. Man börjar alltså på 501 och spelar turer tills man når exakt 0. Dessutom måste man ”dubbla ut”, dvs. man måste nå 0 genom att kasta i dubbelringen. En tur går ut på att spelaren kastar tre pilar. Den spelare som först når 0, oberoende vem som börjar, vinner ett så kallat leg. Då man vunnit ett visst antal leg vinner man ett set, och efter ett visst antal vunna set vinner man matchen. Dessa antal beror på turneringen.

Beteckningar

Nästa steg i att börja studera 501 mera matematiskt är att definiera några olika beteckningar. Om vi betecknar en tur som t kan vi exempelvis skriva
t_2=(7,19,T7),
vilket skulle betyda att spelaren under sin andra tur kastade enkel 7, enkel 19 och trippel 7. Ett kast i dubbelringen betecknas med D.
Eftersom vi främst är intresserade av hur ett helt leg framskrider har vi orsak att nu ännu beteckna spelarens samtliga turer som
L = [t_1,t_2,\dots ,t_n].
Vi kan ännu beteckna spelarens totala poäng under ett leg som p(L). Om p(L)=501 så vann spelaren alltså ett leg.

Sats: Det krävs åtminstone 9 pilar för att avsluta ett leg.
Bevis: Vi gör ett motantagande, dvs. vi antar att det är möjligt att kasta 501 med 8 pilar eller färre, och samtidigt dubbla ut. För medelvärdet M av kasten gäller alltså nu att
M = \frac{501}{n} \geq \frac{500}{8} = 62,5 > 60 = T20.
Eftersom M>T20 vilket är det maximala poängantalet för ett kast, så har vi en motsägelse.

Följdsats: Det minsta antal pilar som krävs för att avsluta ett leg är 9.
Bevis: Låt L = [(T20,T20,T20), (T20,T20,T20), (T20,T19,D12)]. Då är p(L) = 501. Av detta exempel och på basen av föregående sats så är påståendet bevisat.
Ett leg som avslutats efter 9 pilar har fått namnet 9-darter eftersom de är rätt sällsynta. Exemplet ovan är den mest typiska 9-darter eftersom de professionella spelarna vanligtvis siktar på T20.S

2019, Vecktraklet

Dricker du så dricker jag

Lämna en kommentar

Det är dags för en till ramble om matematisk logik.
Observera följande påstående:
”I varje bar finns en person så att om han dricker, dricker alla.”

Är påståendet sant eller falskt? Intuitivt låter det ju som total nonsense, men meningen kan granskas exakt med hjälp av predikatlogik.

Då vi betecknar personer i baren med x och y, fås följande symboliska form:
\exists x (D(x) \to \forall y D(y))

Kort förklaring:

  • \exists x betyder ”det existerar x så att…”
  • \forall y betyder ”för alla y gäller…”
  • D(x) innebär ”x dricker”
  • \to är en implikation, som har följande sanningstabell:

Två distinkta situationer gäller nu för baren:
Om alla i baren dricker, kan vi välja vilken som helst person y. Då är y en sådan person, att om han dricker, dricker alla.
Om det föregående inte gäller, finns det en person x i baren som inte dricker. Nu är båda påståendena D(x) och \forall y D(y) falska, så enligt sanningstabellen ovan är implikationen sann.

Tolkat i predikatlogik är alltså påståendet alltid sant, dvs. vi har en tautologi. Detta kan även verifieras exakt t.ex. med Tarskis sanningsdefinition.

Men beakta nu följande situation med tre personer på en bar:

Alla personerna dricker vid något skede, men ingen av dem får alla andra att dricka samtidigt. Nu verkar påståendet igen inte stämma, what gives?

Vad vi nyss har diskuterat är Drinker Paradox, som i själva verket inte är en paradox, men illustrerar hur matematisk logik inte alltid stämmer överens med naturligt språk. Skillnaden ligger i hur implikationer tolkas: i naturligt språk är en implikation inte meningsfull ifall premissen är falsk. Däremot har logikens s.k. materiella implikation ingen sådan begränsning: en levande person som påstår ”om jag är död lever jag förevigt” skulle tala sanning enligt denna modell.

Då vi ännu återgår till baren och figuren ovan, märker vi att logik inte tar tidsdimensionen i beaktande. Påståendet gäller bara som en materiell implikation då en specifik tidpunkt fixeras. Detta är meningsfullt, eftersom kunder kan anlända till och lämna baren, och i synnerhet kan vi inte tala om drickande personer ifall baren är tom.

Den materiella implikationen är inte onödig eller meningslös inom matematik, men tolkat inom en vanlig mening kan vi formulera väldigt underhållande ”sanna” påståenden. Om du vill hitta på egna: ersätt x och y med andra personer eller föremål, och D med någon annan egenskap än ”dricker”, så får du t.ex.

”I varje godispåse finns en karamell så att om den är choklad, 
är alla karameller choklad.”

”I varje ämnesförening finns en person så att om han är vegan, 
är alla veganer.”

”I varje människokropp finns ett ben så att om det benet bryts, 
bryts alla ben.”

2019, Vecktraklet

Limericks med, för och av Spektrum

1 kommentar

En limerick är en sorts skämtvers eller dikt. Namnet härstammar från den Irländska staden Limerick men versformens ursprung är okänt. Den brittiska författaren Edward Lear populariserade limerickversen. En typisk limerick kan se ut som följande:

”There was an Old Man of Cape Horn
Who wished he had never been born;
So he sat on a chair,
Till he died of despair,
That dolorous Man of Cape Horn”
Edward Lear: ”Book of nonsense”

En limerick ska således ha fem rader med rimordningen: A A B B A. Den första raden brukar av tradition avslutas med ett geografiskt namn men det är inte obligatoriskt. Rad 1, 2 och 5 har vanligen mellan åtta och 10 stavelser medan rad 3 och 4 har fem eller sex stavelser. Vi har här på Spektraklet tidigare skrivit limericks och om limerickar. Robert skrev om användandet av limerickar som minnesregler för matematiska formler: https://spektrum.fi/spektraklet/lustiga-limerickar-och-vetenskaplig-vers/ och Palle skrev limerickar om förra årets årsfestvecka: https://spektrum.fi/spektraklet/en-limerick-for-arsfesten-lxxxv/.

På engelska finns det en hel del finurliga limerickar med naturvetenskapstema. Bland annat från Harvards fysikfakultets hemsida hittas flera skämtsamma verser: https://www.physics.harvard.edu/academics/undergrad/limericks. Jag har dock inte lokaliserat ett liknande utbud på svenska. Därför efterlyser jag nu limerickar av er läsare, helst med naturvetenskapstema eller Spektrumanknytningar. Lämna gärna era limericks som kommentarer till denna artikel.

Här följer några limericks på tidigare nämnda teman:

Några av studielivets bästa hits
Avsluta en tentvecka med sitz
Festa på klubben
Ponga med Stubben
Och vakna på akutrummets brits

Det var en fysiker från Pampas
Som med fymmen försökte tampas
Men så gick något fel
I tentens första del
Och i hans hjärna det börja krampas

En man kämpade sig uppför Gumtäktsbacken
Väskan var tung och öm var nacken
I dörren han tog tag
Insåg att det var fel dag
Han svor, gäspade och vände på klacken

Relativistiska skämt är av sådan sort
Att längdkontraktionen gör den kort
För att inte bli sur
Behöver man tur
Så poängen inte lämnas….(bort)