Kategoriarkiv: Blogg

De bättre spektrala artiklarna

2013, Blogg

Delbarhet, del 2

Lämna en kommentar

I artikeln Matematikhörnan: Delbarhet definierades delbarhetssekvenser för naturliga tal. Delbarhetssekvensen för det naturliga talet n består av talen 10^i\:(mod \: n), där i \in \mathbb{N}_{0}. I nedanstående tabell ser vi början av delbarhetssekvenserna för några tal:

  • 2: 1, 0, 0, 0, 0, 0…
  • 3: 1, 1, 1, 1, 1, 1…
  • 5: 1, 0, 0, 0, 0, 0…
  • 7: 1, 3, 2, -1, -3, -2…
  • 9: 1, 1, 1, 1, 1, 1…
  • 11: 1, -1, 1, -1, 1, -1…

I föregående artikel märkte vi att alla av dessa sekvenser kommer att upprepa sig i något skede. För talen 2 och 5 beror detta på att något av talen är noll, och därmed kommer alla därpåföljande tal att vara noll, ty ifall 10^k \equiv 0 \:(mod \: n), så är även 10^{k+m} \equiv 10^k10^m \equiv 0\:(mod \: n).

De övriga sekvenserna i tabellen innehåller talet 1 på något annat index än 0. Då upprepas sekvensen, eftersom om 10^k \equiv 0\:(mod \: n), så gäller 10^{k+m} \equiv 10^k10^m \equiv 10^m \:(mod \: n).

Alltså, ifall en sekvens innehåller talet 0 eller 1 på något annat index än 0, kommer sekvensen att upprepas.

Sekvenser som innehåller talet 0

För att delbarhetssekvensen för talet n \in \mathbb{N} skall innehålla talet 0, måste det för något k \in \mathbb{N} gälla att

10^k \equiv 0 \:(mod \: n), dvs. n \mid 10^k.

Eftersom 10 = 2*5, kan detta gälla endast ifall talet n innehåller endast primtalsfaktorerna 2 och 5, dvs. om

n=2^a5^b, där a,b \in \mathbb{N}.

Ifall n kan skrivas i ovanstående form, och vi betecknar k=max(\{a,b\}), gäller 10^k \equiv 0\:(mod \: n).

Sekvenser som innehåller talet 1

I vilka fall kan vi då vara säkra på att ett tal har en delbarhetssekvens som på något index olika noll har talet 1? Antag att p \in \mathbb{P} är ett primtal. Ifall p ej är talet 2 eller 5, kommer p inte att dela talet 10^k för något k \in \mathbb{N}, alltså är 10^k \not\equiv 0\:(mod \: p) för alla k \in \mathbb{N}.

Som bekant bildar modulo-operationen (mod \: p) ringen \mathbb{Z}_{p}. Eftersom 10^k \not\equiv 0\:(mod \: p) om p inte är primtalet 2 eller 5, gäller det att 10^k \in \mathbb{Z}_{p} \char`\\ \{0\}. Dessutom vet vi att om (och endast om) p är ett primtal, är ringen \mathbb{Z}_{p} en kropp, alltså har alla tal förutom noll en multiplikativ invers. Detta är ekvivalent med att \mathbb{Z}_{p} \char`\\ \{0\} bildar en grupp med multiplikationsoperationen.

Delbarhetssekvensen består per definition av talen 10^i\:(mod \: n), där i \in \mathbb{N}_{0}. I fallet där p är ett primtal olika 2 och 5, innehålls alla tal i sekvensen alltså i den delgrupp av \mathbb{Z}_{p} \char`\\ \{0\} som talet 10 (eller närmare sagt dess ekvivalensklass) genererar. Eftersom gruppen \mathbb{Z}_{p} \char`\\ \{0\} är ändlig, kommer även den genererade delgruppen att vara ändlig. Därmed existerar det ett k \in \mathbb{N} för vilket 10^k \equiv 1 \:(mod \: p).

Talen i sekvensen kommer alltså att upprepas efter ett visst index k. Närmare sagt, eftersom 10^k \equiv 1 \equiv 10^0 \:(mod \: p), sä gäller

$latex \begin{array}{ll}
10^{k+1} \equiv 10^k10^1 \equiv 10^1\\
10^{k+2} \equiv 10^k10^2 \equiv 10^2\\
…\\
10^{k+k-1} \equiv 10^k10^{k-1} \equiv 10^{k-1}\\
\end{array}$ (mod p)

Sekvensen består alltså av cykler med längden k. Eftersom elementen i cykeln bildar en delgrupp av \mathbb{Z}_{p} \char`\\ \{0\}, och gruppen \mathbb{Z}_{p} \char`\\ \{0\} har p-1 element, vet vi enligt Lagranges sats att cykelns längd delar talet p-1. Vi ser också att eftersom 10^0 \equiv 1 \:(mod \: p), kommer cykeln att starta från det första talet (alltså talet 10^0) i sekvensen. Sekvensen har alltså ingen s.k. svans före cykeln.

Alltså alla primtal utom 2 och 5 har ett index olika noll på vilket delbarhetssekvensen har värdet 1. Naturligtvis kan även icke-primtal ha talet 1 i sin sekvens; i tabellen ovan ser vi att detta gäller för talet 9.

Övriga fall

Vi kan vara säkra på att delbarhetssekvensen för talet n (icke-trivialt) innehåller talet 1 endast om n är ett primtal. Därmed kunde man förvänta sig att det existerar tal vars delbarhetssekvens innehåller varken talet 0 eller talet 1. Det visar sig att detta gäller för talet 6. Låt oss alltså undersöka dess delbarhetssekvens:

För talet 10 gäller det att

10 \equiv 4 \equiv -2 \:(mod \: 6),

och därmed ser vi att

10^2 \equiv 10*10 \equiv -2*(-2) \equiv 4 \equiv -2 \:(mod \: 6).

Av detta följer naturligtvis direkt att

10^k \equiv 10^{k-1} \equiv \cdots \equiv 10 \equiv -2 \:(mod \: 6).

Alltså är delbarhetssekvensen för talet 6 1,-2,-2,-2,… och sekvensen upprepar sig själv, fastän den inte icke-trivialt innehåller talet 0 eller 1.

Vad kan vi då säga om delbarhetssekvensen för talet n som ej är ett primtal och har andra primtalsfaktorer än 2 och 5? Som vi redan tidigare konstaterat, bildar modulo-operationen (mod \: n) ringen \mathbb{Z}_{n}. Ringen är nu inte en kropp, eftersom vi antog att n inte är ett primtal. Vi vet dock ändå att ifall vi multiplicerar två tal i ringen, kommer resultatet även att befinna sig i ringen.

Vi har alltså endast n stycken olika möjliga multiplikationsresultat. Därmed om vi beräknar talen 10^m \:(mod \: n), där m \in \mathbb{N}, måste vi i något skede stöta på ett tal som förekommit tidigare i sekvensen. Vi vet även att detta händer senast, då m=n, eftersom vi inte kan ha n+1 olika tal i ringen. Alltså, vi hittar ett tal m och ett annat tal k < m för vilka

10^m \equiv 10^k \:(mod \: n).

Av detta följer naturligtvis att

$latex \begin{array}{ll}
10^{m+1} \equiv 10^m10^1 \equiv 10^k10^1 \equiv 10^{k+1}\\
10^{m+2} \equiv 10^m10^2 \equiv 10^k10^2 \equiv 10^{k+2}\\
…\\
10^{m+(m-k)-1} \equiv 10^{k+(m-k)-1} \equiv 10^{m-1}\\
10^{m+(m-k)} \equiv 10^{k+(m-k)} \equiv 10^k\\
\end{array}$ (mod n),

alltså går sekvensen efter talet 10^k in i en cykel med längden m-k. Till skillnad från sekvenserna för primtal, kan denna sekvens ha en s.k. svans i början förrän cykeln börjar. Detta beror på att talet 1 inte nödvändigtvis förekommer i sekvensen förutom i början.

Öppna frågor

Talen 3 och 9 har exakt likadan delbarhetssekvens; den består endast av ettor. Finns det andra talpar som har exakt likadan delbarhetssekvens? Om det finns, kan vi hitta något samband för tal som har likadan delbarhetssekvens?

Finns det något samband mellan primtalsutvecklingen och delbarhetssekvensen för tal?

Kan vi på något vettigt sett gruppera icke-primtal i olika grupper, t.ex. enligt längden på cykeln?

Litteratur

Allmän algebra:

Jokke Häsä, Johanna Rämö: Johdatus abstraktiin algebraan, Gaudeamus, 2012.
Tauno Metsänkylä, Marjatta Näätänen: Algebra, Limes, 2005.

Nyttiga wikipedia-länkar:

Group
Ring
Finite field (ändlig kropp)

Lagrange’s theorem
Fundamental theorem of arithmetic

2013, Blogg

Affina rum och deras betydelse för fysiken

Lämna en kommentar

Man hör ofta fysiker säga att vi lever i en 4-dimensionell rumtid. Sällan, eller aldrig, preciseras ändå inte vad själva rumtiden är, dvs vilket slags matematiskt objekt rumtiden borde modelleras som. Vanligen brukar man uppfatta rumtiden som en mängd fysikaliska punkter, eller händelser som de ibland också kallas. Frågan kvarstår dock vilken struktur denna mängd bör vara försedd med för att kunna kallas ett 4-dimensionellt rum. De flesta som har läst lite matematik är bekanta med begreppet vektorrum och känner till att vektrorrum har en väldefinierad dimension. Frågan är då om vi borde modellera rumtiden som ett 4-dimensionellt vektorrum, kanske rentav \mathbb{R}^4 .

För att undersöka saken kommer vi först att fokusera på ett exempel som är lättare att visualisera: det fysikaliska rummet vid en given tidpunkt (här används alltså den klassiska synvinkeln där tiden är absolut). Inom klassisk mekanik brukar man säga att vi vid varje fixerad tidpunkt befinner oss i ett 3-dimensionellt rum. Man kan igen fråga sig om det rör sig om ett 3-dimensionellt vektorrum, t.ex. \mathbb{R}^3 . Intuitivt verkar det klart att rummet i något avseende måste vara 3-dimensionellt eftersom vi kan beskriva rummet vid en given tidpunkt med hjälp av ett 3-dimensionellt koordinatsystem. Mer exakt kan man skapa en entydig motsvarighet mellan det fysikaliska rummet vid en fixerad tidpunkt och \mathbb{R}^3 efter ett val av origo (dvs den fysikaliska punkt som avbildas på \bar{0} ) samt riktningar och skalor för koordinataxlarna.

Rent matematiskt har vi alltså en bijektion från rummet av fysikaliska punkter till \mathbb{R}^3 . Denna bijektion är förstås beroende av vilken punkt vi väljer som origo, och hur vi vänder koordinataxlarna. Men det finns inget naturligt origo i rummet: vilken punkt som helst kan avbildas på \bar{0}. Detta demonstrerar att det inte är korrekt att uppfatta det fysikaliska rummet som ett vektorrum.

Men vad är i så fall vårt fysikaliska rum? Kan vi förse rummet med en struktur som i något avseende är linjär, men som trots det inte tilldelar någon punkt en särstatus som origo? Detta är precis vad ett affint rum är! Ett affint rum definieras som en mängd S tillsammans med ett vektorrum V och en gruppverkan \Phi : V \times S \rightarrow S. Vi ställer dessutom följande krav på \Phi:

  1. \Phi är trogen: ifall v \in V och \Phi(v,p)=p för alla p i S så är v=\bar{0}.
  2. \Phi är transitiv: för alla p,q \in S existerar något v \in V för vilket q=\Phi(v,p).

Pga att gruppen (V,+) är kommutativ så innebär dessa två villkor också att den enda vektor som fixerar någon punkt är nollvektorn. Dessutom ser vi att vektorn v i det andra villkoret är unik. Man kan intuitivt tolka \Phi(v,p) som ”den punkt i S där vi hamnar ifall vi startar i punkten p, och rör oss i vektorn v:s riktning en sträcka som motsvarar v:s längd.” Av denna anledning betecknar vi vanligen \Phi(v,p) med v+p. Dimensionen för ett affint rum definieras som det motsvarande vektorrummets dimension.

Genom att fixera en godtycklig punkt p \in S får vi nu en bijektion \beta: V \rightarrow S, \beta(v) = v+p.   Anta nu att dim (V) = n < \infty . Fixera en bas för V och låt c: V \rightarrow \mathbb{R}^n vara dess koordinatavbildning. Nu är c \circ \beta^{-1} : S \rightarrow \mathbb{R}^n en bijektion.

Vi ser att konstruktionen av bijektionen S \rightarrow \mathbb{R}^n motsvarar de steg som måste tas för att konstruera koordinater för det fysikaliska rummet. Valet av p innebär ett val av origo, och valet av bas för V innebär ett val av koordinataxlarnas riktning samt skalor.
Således ger ett 3-dimensionellt affint rum en realistisk bild av det fysikaliska ”klassiska” rummet vid en fixerad tidpunkt. På motsvarande sätt kan vi modellera galileisk eller relativistisk rumtid som 4-dimensionella affina rum. Utöver detta är det motsvarande vektorrummet V i fallet av rumtid försedd med extra struktur som beskriver tidens natur (annars skulle det ju inte finnas någon skillnad mellan galileisk och relativistisk rumtid!), men detta behandlas inte närmare här.

En fysiker kunde här påpeka att både den galileiska och relativistiska rumtiden som beskrivits ovan har sina brister. Detta är helt korrekt, och våra modeller fungerar förstås endast inom vissa gränser. Galileisk rumtid har ett ganska begränsat tillämpningsområde eftersom den endast fungerar vid låga relativa hastigheter. Den (flata) relativistiska rumtid som vi här har beskrivit fungerar även vid höga hastigheter, men den fungerar inte för att beskriva fenomen i närheten av massiva objekt. Ifall man vill beskriva sådana fenomen måste rumtiden istället modelleras som en s.k. pseudo-Riemannsk mångfald, men det är en helt annan historia.

Avslutningsvis nämner jag ännu att det finns ett annat ekvivalent sätt att definiera affina rum. I detta fall säger man att ett affint rum är en mängd S tillsammans med ett vektorrum V och en avbildning \alpha: S \times S \rightarrow V för vilken följande gäller:

  1. För varje p \in S och v \in V existerar ett unikt element q \in S så att v= \alpha(p,q).
  2. För alla p, q, r \in S gäller \alpha(p,q)+\alpha(q,r) = \alpha(p,r).

Vektorn \alpha(p,q) kan tolkas som differensen mellan p och q , eller ”den translation som måste göras för att nå q om man startar i p ”.

Ifall vi har ett affint rum definierat enligt den ursprungliga definitionen så ger de båda kraven på \Phi att det för alla p, q \in S existerar exakt en vektor v \in V så att v+p=q. Därmed kan vi definiera \alpha(p,q)=v. Det är nu lätt att verifiera att \alpha uppfyller kraven i den andra definitionen på affina rum. Om vi å andra sidan har ett rum som uppfyller den andra definitionen så kan vi på följande sätt definiera ett \Phi som uppfyller den ursprungliga definitionen: För varje p \in S och v \in V definierar vi \Phi(v,p)=q, där q är det unika element i S för vilket v= \alpha(p,q). Därmed har vi sett att definitionerna är ekvivalenta.