Alla inlägg av robert

2019, Vecktraklet

Dricker du så dricker jag

Lämna en kommentar

Det är dags för en till ramble om matematisk logik.
Observera följande påstående:
”I varje bar finns en person så att om han dricker, dricker alla.”

Är påståendet sant eller falskt? Intuitivt låter det ju som total nonsense, men meningen kan granskas exakt med hjälp av predikatlogik.

Då vi betecknar personer i baren med x och y, fås följande symboliska form:
\exists x (D(x) \to \forall y D(y))

Kort förklaring:

  • \exists x betyder ”det existerar x så att…”
  • \forall y betyder ”för alla y gäller…”
  • D(x) innebär ”x dricker”
  • \to är en implikation, som har följande sanningstabell:

Två distinkta situationer gäller nu för baren:
Om alla i baren dricker, kan vi välja vilken som helst person y. Då är y en sådan person, att om han dricker, dricker alla.
Om det föregående inte gäller, finns det en person x i baren som inte dricker. Nu är båda påståendena D(x) och \forall y D(y) falska, så enligt sanningstabellen ovan är implikationen sann.

Tolkat i predikatlogik är alltså påståendet alltid sant, dvs. vi har en tautologi. Detta kan även verifieras exakt t.ex. med Tarskis sanningsdefinition.

Men beakta nu följande situation med tre personer på en bar:

Alla personerna dricker vid något skede, men ingen av dem får alla andra att dricka samtidigt. Nu verkar påståendet igen inte stämma, what gives?

Vad vi nyss har diskuterat är Drinker Paradox, som i själva verket inte är en paradox, men illustrerar hur matematisk logik inte alltid stämmer överens med naturligt språk. Skillnaden ligger i hur implikationer tolkas: i naturligt språk är en implikation inte meningsfull ifall premissen är falsk. Däremot har logikens s.k. materiella implikation ingen sådan begränsning: en levande person som påstår ”om jag är död lever jag förevigt” skulle tala sanning enligt denna modell.

Då vi ännu återgår till baren och figuren ovan, märker vi att logik inte tar tidsdimensionen i beaktande. Påståendet gäller bara som en materiell implikation då en specifik tidpunkt fixeras. Detta är meningsfullt, eftersom kunder kan anlända till och lämna baren, och i synnerhet kan vi inte tala om drickande personer ifall baren är tom.

Den materiella implikationen är inte onödig eller meningslös inom matematik, men tolkat inom en vanlig mening kan vi formulera väldigt underhållande ”sanna” påståenden. Om du vill hitta på egna: ersätt x och y med andra personer eller föremål, och D med någon annan egenskap än ”dricker”, så får du t.ex.

”I varje godispåse finns en karamell så att om den är choklad, 
är alla karameller choklad.”

”I varje ämnesförening finns en person så att om han är vegan, 
är alla veganer.”

”I varje människokropp finns ett ben så att om det benet bryts, 
bryts alla ben.”

2018, Vecktraklet

Minne: Kapitel 4

Lämna en kommentar

Linda stod framför dörren och väntade, nervöst men målmedvetet. Först några sekunder, sedan tiotals sekunder, till sist en minut. Hon tyckte sig ha hört några skyndsamma fotsteg innanför, men kanske det var bara vad hon ville höra?

”Robben, är du inte hemma?” Efter det tredje ropet gav Linda slutligen upp och började söka sig mot trappan. Antagligen var Robben inte på plats, men den bittra baktanken var att han nu plötsligt försökte undvika henne. Linda suckade och drog fram sin telefon, och i det ögonblicket slog dörren upp bakom henne.

Robbens lägenhet var liten men hemtrevlig. På bokhyllan stod en imponerande samling vinflaskor, medan själva böckerna som de ersatte låg på golvet nedanför i en prydlig stapel. Rummet var välstädat, men fastän fönstret stod vidöppet luktade rummet något fränt. Uppenbart en följd av för ivrigt festande de senaste dagarna.

”Förlåt att jag lät dig vänta så länge! Här var lite väl skräpigt och jag förväntar mig oftast inte besök den här tiden.” Robben såg onaturligt nervös ut då han talade. Linda flinade och försäkrade honom att det inte gjorde nåt, hur oförberedd han än var. Kvällen fortsatte med snack om studier, fester, mat, politik och allt annat mellan himmel och jord. Då de bestämde sig för att se på en live stand-up-komedi på nätet gick Robben fram till kylen och tog ut ett par kalla tölkar. ”Jag gissade att du inte druckit tillräckligt ännu” skrattade Linda. Kanske kvällen skulle gå som hon tänkt sig…

* * *

I sina tankar hade Robben bara två målsättningar. För det första, bete sig normalt för att inte skrämma bort Linda. För det andra, ta reda på hur han råkat i den förvirrande situation han var i. Innan Linda smällt honom på kinden efter sitzen hade Robben slocknat och upplevt en konstig krabbisfylld morgon där han vaknat på labbet i Physicum. Men det kunde inte ha varit en dröm: upplevelsen var alldeles för verklig, som om den skett igår. Dessutom måste idag vara dagen efter sitzen, med tanke på Felix kommentar efter föreläsningen. Så om Robben verkligen upplevt händelser i icke-kronologisk ordning och morgonen på labbet verkligen sker, kunde det vara klockan 07:31 imorgon?

”Hahahahahaha!” Linda skrattade högljutt åt skämten från live-showen. Hon visade sig vara en snabb drickare, då hennes hand redan för fjärde gången var tom. Robben bjöd på en till och Linda tackade glatt ”Ja!” med ett leende.  På vägen till kylen ställde han in klockan på 07:29 och återvände sedan vinglande med två iskalla cider. Live-showen fortsatte och Robben skrattade hjärtligt med, fast hans tankar låg helt annanstans.

Då slog det honom. Det fanns en minneslucka i det förflutna han inte personligen upplevt. Det var timmen från att Robben beslöt sig gå hem från festen, tills Linda smällt honom på kinden vid WC-dörren, varemellan han uppenbarligen hade beerpongat och tagit pünschen. Där måste hela galenskapen ha börjat. Robben bad Linda att åter visa honom videon av pünschenprestationen.

Huvudet började vingla mer än vanligt. På videon, fast den var filmad utan blixt, syntes en person Robben aldrig sett förut. Det var ju i och för sig inget konstigt, i synnerhet för en kampussitz, men i handen höll han något alldeles för välbekant: ett bananformat föremål.
”Mår du bra Robben? Din panna är ju dränkt i svett”. Robben svängde sitt ansikte mot Lindas och rös. Till skillnad från rösten såg Lindas ansikte inte alls oroat ut.

”Jag mår lite illa”, uttalade Robben och vinglade sig mot fönstret. Passligt nog lyckades han kasta upp mot gatan nedanför, där lyckligtvis ingen person råkade stå under. Robben var inte längre förvirrad. Han var rädd. Linda var ju precis lika mycket en främling som personen på videon och hon hade också en hand i Robbens konstiga öde. Om hans hoppande från en tidpunkt till en annan orsakades av gelébananen eller ett norrskenslikt ljus, varför hade Lindas smäll på kinden samma effekt? Robben beslöt sig för att konfrontera Linda direkt om saken. Men först tog han ett djupt andetag och vände blicken mot gatan…

Blodet frös till is. Tiden stod stilla. En helt obegriplig serie av händelser satte igång. Vid sidan om gatan såg Robben sig själv, gående från Majstranden upp mot Gumtäkt. Bakom sig hörde han ett mekaniskt klang och ett hummande ljud. Robben svängde sig om. Linda stod vid mikrovågsugnen och genom luckan lyste ett gröngult ljus. Under bordet stod fem oöppnade ciderburkar.

Ljuset tilltog och det sista Robben såg innan han kollapsade på golvet var Lindas uttryckslösa min, stirrande djupt in i Robbens ögon.

2018, Vecktraklet

Lustiga limerickar och vetenskaplig vers

Lämna en kommentar

Matematiska texter från antikens och medelålderns Indien hade en egendomlig struktur. För att hjälpa läsaren minnas dem framställdes problem och resultat ofta som vers. Till exempel Bakshali-manuskriptet är en sådan text.

I nutidens utbildning är poesi en form som används väldigt lite inom vetenskaplig utbildning. Trots det hittar man på nätet många matematiska verser, som människor skrivit för skojs skull eller för att minnas dem bättre. En särskilt minnesvärd versform är limericken, varav några presenteras till näst (i ökande svårighetsgrad):

”A dozen, a gross and a score
Plus three times the square root of four
Divided by seven
Plus five times eleven
Is nine squared and not a bit more”

Ramsan beskriver följande simpla uträkning:
\displaystyle\frac{12+144+20+3\sqrt{4}}{7}+(5\cdotp 11) = 9^2 + 0
Huruvida ramsan är användbar eller inte lämnas till läsarens beaktande. Till näst nåt en aning knepigare:

”The integral z squared dz
From one to the cube root of three
Times the cosine
Of three pi over nine
Is the log of the cube root of e”

Här beskrivs en annan identitet:

\displaystyle\int_{1}^{\sqrt[3]{3}}z^2dz \cdotp \cos{\left(\frac{3\pi}{9}\right)} = \ln{\left(\sqrt[3]{e}\right)}

Läsaren må påminnas att \cos{\left(\frac{3\pi}{9}\right)} = \frac{1}{2} och \ln{\left(\sqrt[3]{e}\right)} = \frac{1}{3}.
I allmänhet är de två föregående verserna skrivna mer för poesins skull, inte för innehållet. Till sist ett mer sofistikerat resultat:

”Take M a complete metric space
If nonempty, it’s always the case
That if f’s a contraction
Then under its action
Exactly one point stays in place”

Versen beskriver den s.k. Banachs fixpunktssatsen. Utan att överkomplicera: I ett fullständigt metriskt rum gäller att om på varandra följande punkter i en följd kommer godtyckligt nära varandra, så har också hela följden en gränspunkt den går mot. En kontraktion är en funktion som, givet två godtyckliga punkter, flyttar dem närmare varandra än de var förut.

MS Paint-illustration av Banachs fixpunktssats

Satsen säger, att kontraktionen f har endast en unik fixpunkt, dvs. en punkt som inte rör sig då kontraktionen appliceras.

Limericken om Banachs fixpunktssats hjälpte mig faktiskt minnas satsen till provet i topologi. Poesi är ett kraftigt verktyg för att få något att fastna i huvudet, och jag skulle vilja se det användas oftare inom matematikutbildningen. Så länge innehållet är ändamålsenligt alltså; förvränger man ekvationer för att göra dem till limericks så gör man det nog mest för poesins skull.