Alla inlägg av Spektraklet

2013, Blogg

Affina rum och deras betydelse för fysiken

20 juni, 2013 Spektraklet Lämna en kommentar

Man hör ofta fysiker säga att vi lever i en 4-dimensionell rumtid. Sällan, eller aldrig, preciseras ändå inte vad själva rumtiden är, dvs vilket slags matematiskt objekt rumtiden borde modelleras som. Vanligen brukar man uppfatta rumtiden som en mängd fysikaliska punkter, eller händelser som de ibland också kallas. Frågan kvarstår dock vilken struktur denna mängd bör vara försedd med för att kunna kallas ett 4-dimensionellt rum. De flesta som har läst lite matematik är bekanta med begreppet vektorrum och känner till att vektrorrum har en väldefinierad dimension. Frågan är då om vi borde modellera rumtiden som ett 4-dimensionellt vektorrum, kanske rentav $\mathbb{R}^4$ .

För att undersöka saken kommer vi först att fokusera på ett exempel som är lättare att visualisera: det fysikaliska rummet vid en given tidpunkt (här används alltså den klassiska synvinkeln där tiden är absolut). Inom klassisk mekanik brukar man säga att vi vid varje fixerad tidpunkt befinner oss i ett 3-dimensionellt rum. Man kan igen fråga sig om det rör sig om ett 3-dimensionellt vektorrum, t.ex. $\mathbb{R}^3$ . Intuitivt verkar det klart att rummet i något avseende måste vara 3-dimensionellt eftersom vi kan beskriva rummet vid en given tidpunkt med hjälp av ett 3-dimensionellt koordinatsystem. Mer exakt kan man skapa en entydig motsvarighet mellan det fysikaliska rummet vid en fixerad tidpunkt och $\mathbb{R}^3$ efter ett val av origo (dvs den fysikaliska punkt som avbildas på $\bar{0}$ ) samt riktningar och skalor för koordinataxlarna.

Rent matematiskt har vi alltså en bijektion från rummet av fysikaliska punkter till $\mathbb{R}^3$ . Denna bijektion är förstås beroende av vilken punkt vi väljer som origo, och hur vi vänder koordinataxlarna. Men det finns inget naturligt origo i rummet: vilken punkt som helst kan avbildas på $\bar{0}$ . Detta demonstrerar att det inte är korrekt att uppfatta det fysikaliska rummet som ett vektorrum.

Men vad är i så fall vårt fysikaliska rum? Kan vi förse rummet med en struktur som i något avseende är linjär, men som trots det inte tilldelar någon punkt en särstatus som origo? Detta är precis vad ett affint rum är! Ett affint rum definieras som en mängd $S$ tillsammans med ett vektorrum $V$ och en gruppverkan $\Phi : V \times S \rightarrow S$ . Vi ställer dessutom följande krav på $\Phi$ :

$\Phi$ är trogen: ifall $v \in V$ och $\Phi(v,p)=p$ för alla $p$ i $S$ så är $v=\bar{0}$ .
$\Phi$ är transitiv: för alla $p,q \in S$ existerar något $v \in V$ för vilket $q=\Phi(v,p)$ .

Pga att gruppen $(V,+)$ är kommutativ så innebär dessa två villkor också att den enda vektor som fixerar någon punkt är nollvektorn. Dessutom ser vi att vektorn $v$ i det andra villkoret är unik. Man kan intuitivt tolka $\Phi(v,p)$ som ”den punkt i $S$ där vi hamnar ifall vi startar i punkten p, och rör oss i vektorn v:s riktning en sträcka som motsvarar v:s längd.” Av denna anledning betecknar vi vanligen $\Phi(v,p)$ med $v+p$ . Dimensionen för ett affint rum definieras som det motsvarande vektorrummets dimension.

Genom att fixera en godtycklig punkt $p \in S$ får vi nu en bijektion $\beta: V \rightarrow S, \beta(v) = v+p.$ Anta nu att $dim (V) = n < \infty$ . Fixera en bas för $V$ och låt $c: V \rightarrow \mathbb{R}^n$ vara dess koordinatavbildning. Nu är $c \circ \beta^{-1} : S \rightarrow \mathbb{R}^n$ en bijektion.

Vi ser att konstruktionen av bijektionen $S \rightarrow \mathbb{R}^n$ motsvarar de steg som måste tas för att konstruera koordinater för det fysikaliska rummet. Valet av $p$ innebär ett val av origo, och valet av bas för $V$ innebär ett val av koordinataxlarnas riktning samt skalor.
Således ger ett 3-dimensionellt affint rum en realistisk bild av det fysikaliska ”klassiska” rummet vid en fixerad tidpunkt. På motsvarande sätt kan vi modellera galileisk eller relativistisk rumtid som 4-dimensionella affina rum. Utöver detta är det motsvarande vektorrummet $V$ i fallet av rumtid försedd med extra struktur som beskriver tidens natur (annars skulle det ju inte finnas någon skillnad mellan galileisk och relativistisk rumtid!), men detta behandlas inte närmare här.

En fysiker kunde här påpeka att både den galileiska och relativistiska rumtiden som beskrivits ovan har sina brister. Detta är helt korrekt, och våra modeller fungerar förstås endast inom vissa gränser. Galileisk rumtid har ett ganska begränsat tillämpningsområde eftersom den endast fungerar vid låga relativa hastigheter. Den (flata) relativistiska rumtid som vi här har beskrivit fungerar även vid höga hastigheter, men den fungerar inte för att beskriva fenomen i närheten av massiva objekt. Ifall man vill beskriva sådana fenomen måste rumtiden istället modelleras som en s.k. pseudo-Riemannsk mångfald, men det är en helt annan historia.

Avslutningsvis nämner jag ännu att det finns ett annat ekvivalent sätt att definiera affina rum. I detta fall säger man att ett affint rum är en mängd $S$ tillsammans med ett vektorrum $V$ och en avbildning $\alpha: S \times S \rightarrow V$ för vilken följande gäller:

För varje $p \in S$ och $v \in V$ existerar ett unikt element $q \in S$ så att $v= \alpha(p,q)$ .
För alla $p, q, r \in S$ gäller $\alpha(p,q)+\alpha(q,r) = \alpha(p,r).$

Vektorn $\alpha(p,q)$ kan tolkas som differensen mellan $p$ och $q$ , eller ”den translation som måste göras för att nå $q$ om man startar i $p$ ”.

Ifall vi har ett affint rum definierat enligt den ursprungliga definitionen så ger de båda kraven på $\Phi$ att det för alla $p, q \in S$ existerar exakt en vektor $v \in V$ så att $v+p=q$ . Därmed kan vi definiera $\alpha(p,q)=v$ . Det är nu lätt att verifiera att $\alpha$ uppfyller kraven i den andra definitionen på affina rum. Om vi å andra sidan har ett rum som uppfyller den andra definitionen så kan vi på följande sätt definiera ett $\Phi$ som uppfyller den ursprungliga definitionen: För varje $p \in S$ och $v \in V$ definierar vi $\Phi(v,p)=q$ , där $q$ är det unika element i $S$ för vilket $v= \alpha(p,q)$ . Därmed har vi sett att definitionerna är ekvivalenta.

2013, Blogg

XNA – Syntetiskt liv

6 maj, 2013 Spektraklet Lämna en kommentar

Människan, skapelsens krona, har alltid strävat efter att bemästra allt liv. I sin oändliga fåfänga har hon inte nöjt sig med detta, utan hon vill upphöja sig till Gud genom att skapa nytt liv. Vi ser detta i modern litteratur, såsom Frankenstein och hennes monster. Men idén är inte ny, också gamla myter bevittnar om lusten att skapa och kontrollera liv, såsom berättelsen om golem ur toran. Rabbinen väcker en lerstaty till liv genom att skriva ordet אמת, emet eller sanning, på dess panna. Dagens vetenskapsman har insett att nyckeln till att behärska liv är att förstå DNA. Men vad är DNA och hur fungerar den?

DNA står för deoxiribonukleinsyra, och består av tre olika komponenter: fyra olika baser, ett socker och en fosfatgrupp. Baserna är bundna till sockermolekylerna, som är bundna sinsemellan ihop med fosforbryggor. Man kan tänka sig DNA som en dragkedja: baserna, vilka motsvaras av häktorna, är fästa till sockret och fosfatbryggan, som utgör tyget. Löparen motsvaras av enzymet DNA-polymeras, som öppnar och kopierar dubbelsträngen, bild 1.

Bild 1: DNA-molekylens schematiska uppbyggnad. a) Polymeras, b) fosfatbrygga, c) ribos (socker), d) baspar, e) löpare, f) häktor.

Roten till livets programkod är de fyra olika baserna, vilka bildar två par: adenin (A) och tymin (T), samt cytosin (C) och guanin (G). Dessa par fungerar som ett kodsystem likt noll och ett för en dator. Basparningen kan jämföras med två magneter som dras till varandra. Det är inte magnetism, utan ett fenomen som benämns för vätebindning, vilken ser till att baserna paras rätt ihop, bild 2.

Bild 2: Vätebindning mellan adenin och tymin. Baserna attraheras till sitt rätta par med vätebindningar, likt hur två magneter attraherar varandra.

Låt oss börja med fosfatbryggan. Vad är denna bra för? Man skulle anta att sockergrupperna vore direkt sammanbundna. Fosfaternas grundläggande egenskap är att de är negativt laddade, vilket hindrar att DNA rymmer ut genom cellmembranet, men också att DNA inte trasslar ihop sig. En vacker dag har hörlurarnas sladd kanske en liknande anti-trasselfunktion.

Arsenik är till sitt kemiska beteende mycket lik fosfor och kan bilda liknande strukturer som finnes i DNA. År 2011 hörde vi om hur NASAs forskargrupp, Wolfe-Simon et al, presenterade sin upptäckt om en speciell bakterie i Kaliforniens Mono Lake. Denna lilla basilisk byggde upp sin DNA av arsenik¹. Fyndet väckte stor uppståndelse, inte bara för att det var det första dokumenterade fallet, utan också för att ett praktiskt problem av mammutstorlek kvarstod. Fosfatbryggan i vanlig DNA har en halveringstid på ca 30 miljoner år i vattenlösning, alltså i en cell. Om celler vore eviga, så skulle all dess DNA sönderfalla före studiestödet indexbinds. Arsenikbryggan då? Under en sekund. Faktum är att sönderfallet är så snabbt att det är svårt att mäta det. Biologin, såsom vi känner den, kan omöjligtvis bestå av arsenikbryggor. Senare blev NASAs resultat bevisat felaktigt.

Av allt att bedöma är det svårt att skapa alternativ till fosfatbryggan. Men baserna har visat sig erbjuda vida möjligheter, likt efterfester på Klubben. Romesberg et al syntetiserade onaturlig DNA, även kallad XNA eller xenoDNA. Denna hade ett främmande baspar, NaM-5SICS, vilket motsvarar paret A-T². Det intressanta är att NaM-5SICS, till skillnad från alla naturliga baspar, inte bildar vätebindningar, vilket tidigare var något oerhört, likt att självaste Akademen inte skulle öva vid Vanha. Bild 3 illustrerar hur NaM-5SICS har en mycket annorlunda form än dess motsvarighet A-T. Ifall formen vore liknande, skulle baserna paras fel ihop av DNA-polymeras. Romesberg rapporterar en noggrannhet på 99.66-99.99% för varje kopiering av NaM-5SICS, vilket närmar sig naturens sämsta fall. Marlière et al rapporterar att de utvecklat bakterier fullt beroende av syntetiska baser, vars tymin var utbytt till 90%³.

Bild 3: NaM-5SICS, nedan, en analog till A-T, ovan. NaM-5SICS bildar inte vätebindningar, men paras rätt ihop av polymeras tack vare sin mycket ovanliga form.

Sockret, den tredje komponenten i DNA, visar sig också vara utbytbar rapporterar Holliger et al⁴. Problemet är att polymerasenzymet inte klarar av de främmande delarna, men genom otaliga mutationer har de skapat två enzym: ett som konverterar DNA till XNA och det andra som gör det motsatta.

Cui bono, till vilken nytta? Varför hålla på och fingra med DNA? Praktiska tillämpningar är detektionen av virus, t.ex. HIV, då XNA binder sig selektivt till viruset. Selektiviteten kan också utnyttjas då patienten lider av ett genfel. XNA binder sig till genen ifråga, vilket hindrar uttrycket av denna. Men när det kommer till kritan är det teoretiska det mest intressanta. Hur mycket kan man ändra på livets byggklossar? Finns det några få enkla krav för att biologi skall uppstå ur kemi? Richard Dawkins, professor emeritus i biologi och mannen bakom bestsellern Illusionen om Gud, anser att det finns två krav: ett kodsystem, t.ex. DNA, och ett verkställande system, t.ex. protein. Hans mest intressanta tanke är kanske att kodsystemet inte behöver vara endimensionellt, såsom DNA. Han föreslår en tvådimensionell matris, likt ett schackbräde där de olika pjäserna står för olika information⁵. Det slutliga målet med all denna forskning är något mera ambitiöst. Varför nöja sig med att manipulera liv när man kan skapa helt nytt liv? DNA, livets kodsystem, är dagens Frankenstein-monster eller golem, instrumentet i människans strävan efter אמת. Sanningen om människan.

Jere Mannisto

[1] Wolfe-Simon, F. et al Science 332 (2011) 1149.

[2] Malyshev , D.A. et al. Proc. Natl Acad. Sci. USA 109 (2012) 12005–12010.

[3] Marlière, P. et al Angew. Chem. Int. Edn 50 (2011) 7109–7114.

[4] Pinheiro, V. B., et al. Science 336 (2012) 341–344.

[5] SOMETHING FROM NOTHING ? [OFFICIAL] Richard Dawkins & Lawrence Krauss [HD] 02-04-12, 2012, http://www.youtube.com/watch?v=YUe0_4rdj0U, 26.4.2012

2013, Blogg

Wappen, vart försvann den?

3 maj, 2013 Spektraklet Lämna en kommentar

Som de flesta säkert märkte var denna veckas onsdag ledig av någon konstig orsak. Även hela Gumtäkt var fyllt av en del mer eller mindre bedruckna studerande kring 12-tiden på tisdag. På tisdagkvällen verkade alla studerande vallfärda mot en liten staty i centrum av Helsingfors, bara för att sedan kunna sprida ut sig över hela staden. För att fira att man har en ledig onsdag, så skall man tydligen samlas i en park och dricka skumppa och ha en liten picknick.

I år började säkert en hel del studerande sitt wappenfirande för en vecka sedan, tog kanske en paus på söndag och fortsätter möjligtvis ännu till lördagnatten. Så från en enda liten ledig dag kan studerande få en nästan 10-dagar lång fest (och även en hel del skolarbete att ta igen). Spektrumiter brukar (officiellt) hålla sig till att fira den 30.4 samt den 1.5 för det mesta och detta kommer att behandlas i en liten textsammanfattning och en del random bilder, p.g.a. att bilder brukar ge en ganska bra bild av vad som hänt (Daaa).

Wappenfirande (eller detta är nu kanske inte helt korrekt ord) började med skumppa på svenska chemen, som hamnar flytta p.g.a. en renovering i huset. Därefter började det mer traditionella programmet med skumppa klockan 12 mellan Physicum och Chemicum. Vid 12-skumppan fanns det även hemgjord mjöd av en lite mer speciell typ, som man kunde testa på. Till en början var det mest allmänt umgänge som stod på programmet, men efter en stund blev spektrumiterna lite törstiga och började caps:a. Efter att spektrumiterna hade släckt törsten blev de ganska hungriga så tillnäst blev det grillning i Majstranden. Efter några timmars grillande och lite annat program drog en del sig mot centrum för att se på när Amanda fick sin mössa tillbaka. Efter detta har jag hört att människor började dela upp sig och försvinna åt olika håll, men som vanligt infann sig en del på Klubben.

Den 1.5 var det tidig väckning så att man hann till Kajsaniemiparken i god tid för att få en bra plats, höra Akademen sjunga och Humpsvakarna spela. Efter en stund började även spektrumiterna klumpas ihop till en sillis. Till sillisen dök även en del äldre spektrumiter upp och några sånger togs in. Även under denna dag blev det caps:ande. Efter detta vet jag inte riktigt vad andra spektrumiter höll på med, än att en skara innfann sig på Majstrandens gräsmatta senare på eftermiddagen och att festen fortsatte länge in på natten. Men till näst en hel del lösryckta bilder i någorlunda kronologisk ordning.

IMG_1966_2376x1584 IMG_1957_2376x1584

Fredi

Spektrum rfs medlemstidning