Kategoriarkiv: 2018

Texter från 2018

2018, Blogg

Rita med Fourier

1 kommentar

Upprepade gånger under det senaste året när jag har öppnat min favoritsida att prokrastinera på, YouTube, dyker där upp konstigt fascinerande videor om Fourierserier. Som fysiker borde det ju vara en självklarhet att de intresserar, men de råkar höra till en elitgrupp av koncept som lätt passar in på subredditen r/oddlysatisfying för allmänheten att drägla över. Ifall man vill ha exempel direkt från kungen på att visualisera matematik så har 3Blue1Brown gjort en video om Fouriertransform där han djupare förklarar den, men enkelt sagt så kan den dela upp signaler till frekvenserna de består av. Vad som nyligen fångade mitt intresse var att man kan använda Fouriertransform för att rita. Genom att göra tillräckligt många kontrollerade cirkelrörelser så har man en bild. SmarterEveryDay var i kontakt med en postdoc som kunde göra det och gjorde en video som också är värd att kolla på! Det här om någonting är varför Fouriers upptäckter är så viktiga. Vem bryr sig om radio och elektronik och alla wannabe viktiga tillämpningar som har att göra med signalprocessering när man istället kan rita katter. Men hur går det till? Genom att ta koordinaterna från en bild kan man räkna ut koefficienterna till Fouriertransform. Animerat i komplexa planet ser fyra termer ut så här: vilket kan beskrivas explicit med

\begin{aligned} &(-14.60 -1.25i) e^{2it} \\ + &(12.41 +13.86i) e^{1it} \\ + &( 6.32 -22.28i) e^{0it} \\ + &(-43.30 +34.76i) e^{-1it} \\ + &(-17.19 +27.46i) e^{-2it} \end{aligned}

De komplexa talen framför exponenten ger radien hos cirklarna och talet inuti exponenten säger hur fort cirkeln snurrar samt åt vilket håll (minus är medsols och plus är motsols). Mittpunkten för den innersta cirkeln är (6.32, -22.28i) eftersom e0*it=1. De komplexa koefficienterna framför exponenten kan räknas ut från integralen

c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) e^{-i n t} dt

där f(t) är bildens koordinater. Man summerar ihop alla termer som då baserar sig på diskret Fourier transform och det i sin tur ger alla tal för att rita valfri bild med cirklar!

z(t) = \sum_{n=-m}^{m} c_n e^{-i n t}

Man kan själv bestämma hur många termer man vill räkna ut, det blir noggrannare och tar längre desto större m. Det som animerades tidigare var baserat på en hoppeligen välkänd bild med m=2. Kan vi urskilja vad det är om man väljer m=75?

Oddly satisfying, right? God fortsättning!
Daniel

2018, Vecktraklet

Minne: Kapitel 4

Lämna en kommentar

Linda stod framför dörren och väntade, nervöst men målmedvetet. Först några sekunder, sedan tiotals sekunder, till sist en minut. Hon tyckte sig ha hört några skyndsamma fotsteg innanför, men kanske det var bara vad hon ville höra?

”Robben, är du inte hemma?” Efter det tredje ropet gav Linda slutligen upp och började söka sig mot trappan. Antagligen var Robben inte på plats, men den bittra baktanken var att han nu plötsligt försökte undvika henne. Linda suckade och drog fram sin telefon, och i det ögonblicket slog dörren upp bakom henne.

Robbens lägenhet var liten men hemtrevlig. På bokhyllan stod en imponerande samling vinflaskor, medan själva böckerna som de ersatte låg på golvet nedanför i en prydlig stapel. Rummet var välstädat, men fastän fönstret stod vidöppet luktade rummet något fränt. Uppenbart en följd av för ivrigt festande de senaste dagarna.

”Förlåt att jag lät dig vänta så länge! Här var lite väl skräpigt och jag förväntar mig oftast inte besök den här tiden.” Robben såg onaturligt nervös ut då han talade. Linda flinade och försäkrade honom att det inte gjorde nåt, hur oförberedd han än var. Kvällen fortsatte med snack om studier, fester, mat, politik och allt annat mellan himmel och jord. Då de bestämde sig för att se på en live stand-up-komedi på nätet gick Robben fram till kylen och tog ut ett par kalla tölkar. ”Jag gissade att du inte druckit tillräckligt ännu” skrattade Linda. Kanske kvällen skulle gå som hon tänkt sig…

* * *

I sina tankar hade Robben bara två målsättningar. För det första, bete sig normalt för att inte skrämma bort Linda. För det andra, ta reda på hur han råkat i den förvirrande situation han var i. Innan Linda smällt honom på kinden efter sitzen hade Robben slocknat och upplevt en konstig krabbisfylld morgon där han vaknat på labbet i Physicum. Men det kunde inte ha varit en dröm: upplevelsen var alldeles för verklig, som om den skett igår. Dessutom måste idag vara dagen efter sitzen, med tanke på Felix kommentar efter föreläsningen. Så om Robben verkligen upplevt händelser i icke-kronologisk ordning och morgonen på labbet verkligen sker, kunde det vara klockan 07:31 imorgon?

”Hahahahahaha!” Linda skrattade högljutt åt skämten från live-showen. Hon visade sig vara en snabb drickare, då hennes hand redan för fjärde gången var tom. Robben bjöd på en till och Linda tackade glatt ”Ja!” med ett leende.  På vägen till kylen ställde han in klockan på 07:29 och återvände sedan vinglande med två iskalla cider. Live-showen fortsatte och Robben skrattade hjärtligt med, fast hans tankar låg helt annanstans.

Då slog det honom. Det fanns en minneslucka i det förflutna han inte personligen upplevt. Det var timmen från att Robben beslöt sig gå hem från festen, tills Linda smällt honom på kinden vid WC-dörren, varemellan han uppenbarligen hade beerpongat och tagit pünschen. Där måste hela galenskapen ha börjat. Robben bad Linda att åter visa honom videon av pünschenprestationen.

Huvudet började vingla mer än vanligt. På videon, fast den var filmad utan blixt, syntes en person Robben aldrig sett förut. Det var ju i och för sig inget konstigt, i synnerhet för en kampussitz, men i handen höll han något alldeles för välbekant: ett bananformat föremål.
”Mår du bra Robben? Din panna är ju dränkt i svett”. Robben svängde sitt ansikte mot Lindas och rös. Till skillnad från rösten såg Lindas ansikte inte alls oroat ut.

”Jag mår lite illa”, uttalade Robben och vinglade sig mot fönstret. Passligt nog lyckades han kasta upp mot gatan nedanför, där lyckligtvis ingen person råkade stå under. Robben var inte längre förvirrad. Han var rädd. Linda var ju precis lika mycket en främling som personen på videon och hon hade också en hand i Robbens konstiga öde. Om hans hoppande från en tidpunkt till en annan orsakades av gelébananen eller ett norrskenslikt ljus, varför hade Lindas smäll på kinden samma effekt? Robben beslöt sig för att konfrontera Linda direkt om saken. Men först tog han ett djupt andetag och vände blicken mot gatan…

Blodet frös till is. Tiden stod stilla. En helt obegriplig serie av händelser satte igång. Vid sidan om gatan såg Robben sig själv, gående från Majstranden upp mot Gumtäkt. Bakom sig hörde han ett mekaniskt klang och ett hummande ljud. Robben svängde sig om. Linda stod vid mikrovågsugnen och genom luckan lyste ett gröngult ljus. Under bordet stod fem oöppnade ciderburkar.

Ljuset tilltog och det sista Robben såg innan han kollapsade på golvet var Lindas uttryckslösa min, stirrande djupt in i Robbens ögon.

2018, Vecktraklet

Isotoper och osannolika, sannolikt omöjliga isotopbyten

Lämna en kommentar

En isotop är en variant av ett grundämne med samma antal protoner i kärnan men olika antal neutroner. Detta betyder att isotoper av samma grundämne har olika atommassor. Isotoperna har lika, eller mycket liknande, kemiska egenskaper men olika fysikaliska egenskaper. En av de mest omtalade isotoperna är kolets isotop 14. Kol-14, eller C-14, har 6 protoner och 8 neutroner och har en halveringstid på 5730 år. Det är denna egenskap som har gett C-14 dess berömmelse. Isotopen sönderfaller, dvs. den är inte stabil och halveringstiden används för att åldersbestämma exempelvis arkeologiska fynd och fossiler.

Kol har dock en annan isotop som enligt mig har fått alldeles för lite uppmärksamhet: kol-13. C-13 har 6 protoner, 7 neutroner och sönderfaller inte, den är stabil. Av allt kol på Jorden är ca 1,1 procent C-13 isotopen, medan 98,9 procent består av C-12. Forskare har gjort uppskattningen att Jorden består av ca 4,36*1021 kg kol eller 4,360 miljarder gigaton. Detta betyder att det totalt finns ungefär 2.19*1047 stycken kolatomer på Jorden av vilka 1,1 procent, eller 2,4*1047 stycken är isotopen C-13. Kol-12 har massan 12u (1u = 1,6605*10–27kg) och C-13 har massan 13,003u. Förhållandet mellan C-12 och C-13 väger ytterligare till C-12s favör i levande organismer p.g.a. biomekaniska processer där den lättare isotopen C-12 är favoriserad.

Hittills har jag endast berättat fakta. Jag har gjort vissa approximeringar men allting har varit sanningsenlig information. Låt oss nu lämna denna tråkiga och korrekta världsbild. Låt oss anta en hypotetisk, osannolik och alternativ verklighet. En verklighet där bland annat massdifferensen mellan C-12 och C-13 är obetydlig för biomekaniska processer:

En människa som väger 70 kg består av ca 7*1027 atomer. Beroende på kön så är grundämnesfördelningen lite olika men genomsnittet är en kolhalt på ca 12 % vilket motsvarar 8,4*1026 atomer. Låt oss nu anta det ytterst osannolika scenariot där varenda av dessa kolatomer skulle vara av C-13 isotopen, istället för det ”normala” där mindre än 1% är C-13. Som tidigare nämnt är C-13 ca 1u tyngre än C-12. Detta skulle resultera i en massdifferens på 1,4 kg hos vår genomsnittsmänniska, utan att öka antalet atomer!

Vill vi ta flera osannolika isotopbyten i beaktande så byter vi ut den vanligaste stabila syreisotopen O-16 med den stabila O-18 isotopen. Det finns dock endast 0,2 % O-18 och, på samma sätt som C-13 är, är O-18 nedprioriterad i livsviktiga biologiska processer p.g.a. dess högre massa. Men vi ignorerar dessa faktum i detta scenario. O-18 har två neutroner fler än O-16 och väger således ca 2u eller 3,3*10–27 kg mera. Vår genomsnittsmänniska består av ca 1,68*1027 syreatomer. Ifall alla dessa är isotop O-18, resulterar det i en massdifferens på 5,6 kg. Vår genomsnittsmänniska bestående av 7*1027 atomer och de tyngre isotoperna skulle väga 77 kg medan en människa med samma antal atomer men med den normala isotopkombinationen skulle väga 70 kg. Det är en massdifferens på 7 kg eller 10 procent!

Varför har jag beräknat och beskrivit detta ytterst osannolika och omöjliga scenario? För att ifall dina steg uppför backen till vårt campus känns lite extra tunga en grå och dyster vintermorgon, kan du trösta dig med att du kanske består av lite flera C-13 och O-18 isotoper än vanligt just den morgonen.