Kategoriarkiv: 2018

Texter från 2018

2018, Vecktraklet

Palles musikhörna: This is not the music you’re looking for

1 maj, 2018 palle Lämna en kommentar

Då jag hör parodier på låtar, så brukar jag vanligtvis sucka och stöna, men då de är av bra kvalitet såsom den här låten, så kan jag inte låta bli att le 🙂 Vem skulle inte tycka det är kul med naturvetenskapliga lyriker ovanpå bekanta Star Wars-melodier.

Science Wars är skriven och uppförd av personerna bakom YouTube-kanalen AsapSCIENCE. Låten är en parodi på följande bakgrundsmusik från Star Wars:
Main Theme
Duel of the Fates
Cantina Band
Main Theme (pånytt)
The Imperial March
The Force Theme

P.S. Tre veckor kvar till Solo: A Star Wars Story, hype!

2018, Vecktraklet

Det absolut simplaste beviset att √2 är irrationellt

24 april, 2018 robert Lämna en kommentar

Har du någonsin läst standardbeviset för att √2 är irrationellt och tänkt något av följande?
– ”Usch, delbarhet”,
– ”Fy, motantaganden”, eller
– ”Det här beviset var helt för kort!”
Worry not! Här delar jag med mig mitt favoritbevis, som är så självklart och trivialt att till och med humanister kunde uppskatta dess skönhet!

Vi påminner oss ännu om att ett rationellt tal kan skrivas i formen $\frac{a}{b}$ , där a och b är heltal och b ≠ 0. Ett irrationellt tal kan alltså inte skrivas på detta vis.

Påstående:

√2 är irrationellt.

Bevis:

Vi undersöker talföljder $(a_n)_{n \geq 0}$ med kraven
A) $a_n$ är rationellt för alla $n \geq 0$
B) $a_{n+1} = 2a_n^2 - 1$ för alla $n \geq 0$
C) $a_i = a_j$ för något $i \neq j$

Det visar sig att det finns ett ändligt antal talföljder som uppfyller dessa krav. Vi kan i själva verket lista upp dem alla.

Om $|a_0| > 1$ följer det från krav B att talföljden är strängt växande, dvs inget värde upprepas och krav C uppfylls inte. Vi kan alltså anta $|a_0| \leq 1$

Nu kan man substituera $a_0 = \cos{t}$ för något $t \in [0, \pi]$ . Detta kommer att ge oss en icke- rekursiv formel för talföljden.
Låt oss visa med induktion att $a_n = \cos(2^nt)$ för alla $n \geq 0$ .

Grundsteg:
$a_0 = \cos{t} = \cos{(2^0t)}$

Induktionssteg:
Med hjälp av formeln för dubbla vinklar, $\cos{(2x)} = 2\cos^2{x} - 1$ ,
får vi
$a_n = \cos{(2^nt)} \implies a_{n+1} = 2a_n^2 - 1 = 2\cos^2{(2^nt)} - 1 = \cos{(2^{n+1}t)}$

Påståendet $a_n = \cos(2^nt)$ gäller alltså för alla $n \geq 0$ .
Nu gäller det att hitta passliga värden på $t \in [0, \pi]$ så att $a_n = \cos{(2^nt)}$ är rationellt för alla $a_n \geq 0$ (krav A). I själva verket räcker det, att $\cos{t}$ är rationellt, eftersom (”selvästi nähdään”) då är också $\cos{(2t)}, \cos{(4t)}, \cos{(8t)} \dots$ rationella enligt formeln för dubbla vinklar.

För att krav C ska hålla, måste
$\cos{(2^it)} = \cos{(2^jt)}$ för något $i \neq j$

$\implies 2^it = \pm 2^jt + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \\ \implies t = \frac{2k}{2^i \pm 2^j}\pi$

där täljaren och nämnaren är heltal och nämaren är olika noll.
Talet t måste alltså vara en rationell multipel av pi!

Nu finns ett användbart resultat, Niven’s Theorem, som säger att de enda rationella multiplarna av pi inom $[0, \frac{\pi}{2}]$ vars cosinus också är rationellt är 0, $\frac{\pi}{3}$ och $\frac{\pi}{2}$ . Satsens bevis använder sig lyckligtvis inte av talets √2 irrationalitet.

Med Niven’s Theorem och några trigonometriska identiteter får vi att $t \in \{0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \pi \}$ , varav följer $a_0 \in \{1, \frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}, -1 \}$

Alla följder som uppfyller kraven A, B och C är alltså:
1, 1, 1, 1, 1, $\dots$
$\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \dots$
0, -1, 1, 1, 1, $\dots$
$-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \dots$
-1, 1, 1, 1, 1, $\dots$

Men nu märker vi ju, att talföljden
$\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -1, 1, 1, \dots$
uppfyller kraven B och C, men hittas inte på vår lista. Då måste krav A gå fel, och eftersom 0, -1 och 1 tydligt är rationella tal, måste
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ och därmed $\sqrt{2}$ vara irrationellt, Q.E.D.

Funderingar

Det här beviset är ett gott exempel på hur samma matematiska påstående ofta kan bevisas på många olika sätt. Standardbeviset påminner mest om talteori, ofta kallad heltalens matematik. Beviset ovan använder sig mer av algebra (reella tal och deras räkneregler) och analys (förändringens matematik, dvs. talföljder, derivator…).

Ifall du läser detta stycke och inte har läst beviset, så gör det inte nåt. Alla är inte intresserade av matematik och ska inte heller behöva vara det. Men på samma sätt som en poet gillar att skriva och läsa dikter kan en matematiker bli riktigt begeistrad av ett vackert bevis. Det är alltid bra att ha ett öppet sinne för andras intressen, även om man inte vet vad de talar om. Då kanske det är dags för mig att plocka ner diktboken från hyllan…

2018, Blogg

Redaktionens chilifest 2018

20 april, 2018 Waffe Lämna en kommentar

Den 9e april samlades redaktionen åter för testning.

I vår testades torkade Bhut jolokia chilin, a.k.a. Naga jolokia eller Ghost peppers. Dessa chilin är förfärligt starka och var certifierat världens starkaste chili från 2007-2010. Styrkan av chilin mäts i en så kallad Scoville-skala. Scoville-skalan är proportionell med koncentrationen av kapsaicin, vilket orsakar den upplevda hettan av chilin. En jalapeño rankas kring 5 000 Scoville, en stark habanero rankas kring 100 000 – 300 000 och pepparsprej upp till 5 miljoner. Bhut jolokia chilin som starkast är omkring en miljon Scoville-enheter.

Ovan syns de torkade Bhut Jolokia halvorna.

Som förberedning köpte vi var sin mjölkprodukt för att skölja ner den fettlösliga kapsaicinen. Som en introduktion fick alla åt sig en ”mediumstark” spansk röd chili. Redaktionen enades om att dessa chilin var extra milda och smakade som paprikor. Vi kryddade sedan chilina med diverse chilisåser för att piffa upp dem lite. Efter detta var det dags för grande finalen…

Vår idé var att äta en Bhut jolokia halva och sedan (försöka) recensera en film eller serie. Först efter recensionen fick recensenten ta åt sig sin munsköljande mjölkprodukt. För att få de torkade chilina ner för strupen tillsatt vi en tesked Devil’s Salad salsa.

Vi lottade om ordningen med hjälp av tärningskast. Frans blev utlottad som den första försökskaninen. Robert var andra och Sebbe valdes till tredje. Paul var fjärde i kön och till sist fick jag min tur. Nedan finns det bilder och redaktionens kommentarer om chilifesten.

”Redaktionen testar chili var verkligen inte min idé. Jag tål inte stark mat nästan alls, men å andra sidan så skall man väl alltid försöka och vara öppen mot nya upplevelser! Jag skulle recensera den första Star Wars filmen (alltså Star Wars – A New Hope, ifall någon inte visste), och trodde det skulle vara en lätt grej för jag har sett en flera gånger och kan handlingen “relativt”bra. Men detta var ju inte sant; jag var den första att testa vår chili och chilin vann mig helt 100-0. Det var länge sedan jag grät så mycket, men nu är det över :)”

– Frans

Robert är bestämd och redo att äta sin chili.

”Innan jag stoppade chilin i munnen hade jag inte egentligen tänkt på hur det skulle kännas. När jag sedan började recensera Star Wars Episode III: Revenge of the Sith förstod jag så småningom implikationerna av att inmundiga en Bhut Jolokia. Vätskor började flöda ut ur diverse hål i ansiktet och tungan kändes som om den satt fast i en skog av glödande järnspikar. Själva recensionen gick inte så bra, men åtminstone fick jag med Anakins och Obi Wans episka duell på planeten Mustafar, vars infernaliska hetta var det närmaste som kunde jämföras med upplevelsen i min mun.”

”10/10, would suffer again” – Robert

Bild på Sebbe strax efter hans recension. Frans sitter bakom med en ”Thousand Yard Stare”.

”Kryddstark mat är inte något som hör till min vardag. Jag har dock alltid trott att jag kan hantera kryddstark mat väl. Det visade sig vara fel. Helt fel. Jag försökte rescensera och återge handlingen i Pulp Fiction men jag kom inte längre än halvvägs innan jag kastade in handduken. Smärtan koncentrerade sig till en punkt längst bak i munhålan, och kändes som om ett vitglödgad knivblad pressades mot svalget. En liter yoghurt och en timme senare hade smärtan förflyttat sig ned till magen och där låg den och glödde resten av kvällen.”

”Aldrig mer.” – Sebbe

”Vi fruktade vad som var att komma, medan alla också verkade ivriga över att prova på något dumt (och kanske även en aning masokistiskt). Jag var fjärde i tur, så jag hann se hur andra redaktörer tog sig igenom det brinnande infernot förrän det blev min tur. Jag kryddade min chili med lite extra hotsauce för att försäkra en eldig upplevelse, och det var ju nog en upplevelse. Hjärtat började bulta hårdare, medan det blev svårare att prata. Recenserade kort filmen The Illusionist medan jag “njöt” av chilin. Slutliga värderingarna för min del blev 9/10 för filmen och 22/22 (lite för mycket) för chilin.”

– Paul

Till sist var det min tur. Ärligt talat så hade jag förväntat mig en mera smärtsam upplevelse. I början brände chilin förfärligt (speciellt när det började svida i näsan) men ganska strax efter det började lågorna dö ut. Jag recenserade den animerade tv-serien Avatar: The last airbender, och när jag kom till andra säsongen beslöt jag att ta en till chili, ifall den första råkade vara en svaging. Jag höll genomgången en aning kortare för de två sista säsongerna, fast jag tycker jag skulle ha klara av det en längre tid. Jag ger Avatar-serien en 4/4 och chilin en 8.3/9.

Vi filmade även allting, for science! Här finns en kompilation av de bästa och värsta delarna av hela prövningen: https://www.youtube.com/watch?v=tu-WTqbqdn0

Tackar till Sonja Wikström för klippningen av chilifest-videon!

Waffe

PS. Om någon vill pröva på en likadan Bhut jolokia så kan ni kontakta mig!

Spektraklet