Taggarkiv: Matematik

Hur logik och ordspråk kan förvränga världen

”Finns det hjärterum så finns det stjärterum”

Några veckor sedan trängde helt för många PRK-medlemmar in sig i en alldeles för liten bastu. Så klart, goda människor som vi är lät vi alla få en sittplats på bastulaven. Den just nämnda frasen är en viktig princip att hålla i tankarna för alla dylika situationer där det uppstår mera hudkontakt än vad som är behagligt.

En nördig matematiker kunde ju inte låta bli att påpeka att det kända ordspråket kan uttryckas i första ordningens logik:
Det finns hjärterum Det finns stjärterum.
Detta är alltså en logisk implikation, en form av propositionsuttryck. En intressant egenskap hos implikationer är att fast premissen är falsk och slutsatsen är sann, så är fortfarande hela implikationen sann. Med andra ord: Det kan finnas stjärterum fastän det inte finns hjärterum!

Någon som har sysslat lite mer med logik känner kanske också till begreppet kontraposition, dvs en logiskt ekvivalent, ”omvänd” form av samma implikation:
Det finns inte stjärterum Det finns inte hjärterum.
Det låter ju inte riktigt lika trevligt, men betydelsen är densamma! Med hjälp av matematisk logik kan vi alltså förvränga det vackra ordspråket till följande cyniska världsbild:
”Alla som inte ger dig en plats ogillar dig, men de som ger dig en plats gillar dig inte nödvändigtvis heller”.

Kan vi utsätta fler klassiska fraser för den totally-not-nödvändiga logiska behandlingen? Såklart!

”Dum fråga får dumt svar”
Du ställde en dum fråga ⇒ Du fick ett dumt svar.
Implikationen håller även om du ställde en smart fråga och fick ett dumt svar.
Tolkning: Då någon näsvist ger dig ett dumt svar, motiverad av denna fras, kan du påpeka att din fråga mycket väl kunde ha varit väl formulerad och smart. Svara lika näsvist tillbaka: ”Check your logic”.

”Allt som glittrar är inte guld”.
Låt X vara ett godtyckligt föremål med möjligheten att glittra och/eller vara guld. Då gäller:
¬(X glittrar ⇒ X är guld)
Här är ‘¬’ symbolen för en negation, dvs det motsatta påståendet. Uttrycket är ekvivalent med: (bortlämnat triviala mellansteg som sanningstabeller och De Morgans lag)
X glittrar och X är inte guld
Tolkning: Inget guld glittrar, eller det guld vi har sett glittra är egentligen inte guld.

Som vi ser är en kombination av logik och ordspråk inte alltid överensstämmande med verkliga livet. Vad gör vi åt detta? Jo, vi hyllar Boole och  Gödel och tolkar matematisk logik som det enda rätta. Ordspråken lämnar vi åt språkstuderande; vi har ju inte hjärterum för humanister.

Dyslexi eller dyskalkyli?

Hjärnans förmåga att koppla det skrivna och de koncept som det skrivna representerar är inte en självklarhet för alla. Att kunna pålitligt processera visuella tecken och former för att skapa och lagra nya mentala strukturer kan vara oerhört problematiskt för många. Läs- och skrivsvårigheter av olika former innebär viktiga frågeställningar i samband med lärande och inlärning. Denna ytterst begränsade artikel har som grund ett pedagogiskt synsätt för allmänt stöd för lärande. Jag strävar till att klargöra grundläggande begrepp och fästa uppmärksamhet vid oklarheter som speciellt präglar begreppet dyskalkyli.

Dyslexi är en funktionsnedsättning i hjärnan som innebär att man kan ha svårt med att förstå och producera skriven text. I grund och botten handlar dyslexi om att hjärnan inte alltid lyckas koppla språkets ortografi (skriven form) med språkets fonologi (ljudstruktur). [1]  Olika symptom kan grovt delas i tre grupper [2], varav den första är den vanligaste:

  1. Bristfälligt fonologiskt medvetande. Personen lämnar bort eller växlar enkelt på vokaler och konsonanter och har allmänt svårt med att uppfatta koncept som t.ex. långa och korta vokaler. Personen kan sakna flyt i läsande och tendera till att förväxla liknande ord.
  2. Bristfälligt fonologiskt arbetsminne. Personen har svårigheter med att behålla nyss läst information under tiden barnet läser, vilket ofta resulterar i hopp mellan raderna.
  3. Bristfällig fonologisk ordmobilisering. Personen måste ofta anstränga sig för att hitta ett ord i sitt ordförråd.

Dyslexi kan ofta diagnostiseras redan i tidig ålder, kring 5-7 år, då barnet förväntas ha uppnått en viss förmåga för att förstå skriven text. Dyslexi som en störning är inte helt förstådd på hjärnans nivå eftersom hjärnan inte har ett specifikt centrum för läsande. Istället kombineras flera områden i hjärnan för stöda läsandet. Variationer i hjärnsubstansen i dessa områden ofta korrelerar med dyslexi, men situationen försvåras eftersom variationerna ofta korrelerar även med mängden läsövning som barnet har fått. Från ett lärarperspektiv kan det därmed vara ytterst svårt att bedöma om ett barn kan lida av dyslexi. Forskning tyder dock även på att dyslexi är ärftligt.

Dyskalkyli är en funktionsnedsättning som till skillnad från dyslexi oftast begränsar sig till matematik. En person med dyskalkyli kan ha problem med att uppfatta och avläsa numeriska uttryck, svårigheter med att utföra räkneoperationer och problem med att skriva siffror i rätt ordning. Personer med dyskalkyli kan samtidigt ha en diagnos av dyslexi. Till symptom kan höra en bred skara av exempel som behandlar numerisk information i någon grad, men det gemensamma bland alla är alltid en avsaknad av en viss känsla för antal och tal.

Dyskalkyli är ett nyare begrepp som ofta kopplas till eller inkluderas i begreppet dyslexi eftersom de ytligt verkar behandla liknande saker. Omväxling av siffor och allmänna problem med att förstå numerisk information i skriven form kan enkelt kastas ihop med symptom av dyslexi, även om det i fallet av dyskalkyli handlar om allmännare bristfälligheter i personens taluppfattning. Personer med dyskalkyli har inte bara svårigheter med siffror, utan ofta även med jämförelser av antal objekt i begränsade mängder. [3] Det handlar inte endast om en särställning mellan ortografi och fonologi som i dyslexi, men också om en nedsatt förmåga att överhuvudtaget greppa vad ett antal av något betyder. Forskning har även visat att barn med dyslexi saknar en mental tallinje som används för att mentalt och visuellt placera tal i storleksordning. [3]

Från en lärarsynvinkel kan det lika som med dyslexi vara väldigt svårt att bedöma om en elev lider av dyskalkyli eller inte. Vissa kulturella aspekter för dock med sig unika problem då det handlar om dyskalkyli. Enligt mina erfarenheter är det mera acceptabelt att tycka att matematik är svårt än att tycka att läsa och skriva är svårt. Samhällsnormer och fördomar för matematik kan enkelt gestaltas som en slags pseudodyskalkyli. Det är en stor utmaning för läraren att bedöma om eleven lider av dyskalkyli, eller om svårigheterna kan förklaras via t.ex. attitydproblem, variationer i mottaglighet, avsaknad övning, eller även andra former av koncentrationssvårigheter och relaterade nedsättningar.

Forskningen inom dyskalkyli är fortfarande ett växande delområde. Ett av de stora problemen är att avgränsa och definiera exakt vad som krävs för att en person skall kunna diagnostiseras med dyskalkyli. Lika som med dyslexi kan det vara oerhört svårt att tillräckligt genomskådligt beskriva symptomen och möjliga underliggande orsaker eftersom den grundläggande forskningen inte kan göra det. Hittills har dyskalkyli kopplats starkt med räknesvårigheter eftersom problemen gestaltas enklast via räkneuppgifter. Forskning tyder dock på att det underliggande problemet har att göra med abstraktare helheter inom taluppfattning. Än så länge behandlas både dyslexi och dyskalkyli som paraplybegrepp i en grå zon av inlärningssvårigheter.

  • Jonas

 

Källor

[1] https://dyslexiaida.org/dyslexia-and-the-brain-fact-sheet/

[2] https://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/amnen-omraden/spraklig-kompetens/tema-las-och-skrivinlarning/hur-stottar-man-elever-med-dyslexi-och-andra-las-och-skrivsvarigheter-1.157474

[3] Lundberg, I., Sterner, G., Dyskalkyli – finns det?  Aktuell forskning om svårigheter att förstå och använda tal. Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet, 2009. Hämtad 10.10.2017: http://ncm.gu.se/media/ncm/dokument/dyskalkyli_finns_det.pdf

 

Sagan om Enhetscirkeln

I begynnelsen skapades geometrin av guden Euklides. Ur Hans händer föddes allehanda polygoner och polyedrar. Med Hans ord väcktes de geometriska sanningarna ur sin mörka sömn. Och ur hans Hans sinne skapades Cirkeln, geometrins krona. Mången valde att fortsätta dväljas i Okunskapens Mörker, men de som följde Geometrins Ljus blev Euklides lärjungar. De blev de första matemagikerna. Dessa lärjungar vandrade stolt genom land och rike och spred den euklidiska geometrins magi, vördade och hyllade vart de än kom. Med matemagins hjälp byggdes blomstrande städer och hela kungadömen, och hög som låg lyssnade till matemagikernas råd.

I tusen år härskade den rena och exakta logiken i Euklides namn, men där det finns ljus finns det även mörker. Bland skuggorna föddes sfärisk och hyperbolisk avgudadyrkan, svartkonster frammanade av de första mörka matemagikerna. Med tiden växte mörkret sig allt starkare och tidigare upplysta riken störtade ned bland skuggorna. I Euklides namn gjorde de ljusa matemagikerna dock tappert motstånd under det krig som följde och lyckades hålla tillbaka mörkret. Först efter århundraden av bitter kamp återskapades balansen i världen och den euklidiska och den icke-euklidiska geometrins anhängare gick sina skiljda vägar.

Kampen mot de sfäriska och hyperboliska avgudarnas följare hade ändå lämnat sina spår i matemagikernas sinnen. En fruktan för mörkrets återkomst levde kvar ännu åratal efter kriget, och många av den nya generationens matemagiker började sträva efter allt större kunskap och makt inom geometrin. De arbetade inte längre tillsammans för att uppnå ett gemensamt mål, utan var och en strävade efter att själv bli mäktigast bland matemagikerna. Fantastiska satser och korollarier föddes under denna tid, men de mest ambitiösa bland Euklides följare blev aldrig nöjda. Ungefär två årtusenden efter de första euklidiska lärjungarnas tid klev så slutligen en man fram som skulle förändra allting.

Leonhard Euler levde högt uppe bland Alperna i Europa. Han var lärjunge till den mäktige matemagikern Johann Bernoulli och hade lärt sig mycket om geometrins hemligheter av honom. Men Euler ville veta mer. I denna tid av ständig tävling mellan Euklides följare i Europa kämpade även han efter geometrisk överlägsenhet. Han sökte djupt bland matemagins mysterier för att finna ett verktyg som kunde göra honom mäktigare än alla andra. Ensam på sin bergstopp experimenterade han och frambesvärjde heliga geometriska mönster, tills han slutligen fann sitt verktyg. Ur Euklides bländande ljus föddes Enhetscirkeln, härskare över alla cirklar!Euler skapar cirkeln

Med hjälp av detta nya verktyg dominerade Euklides snart hela den euklidiska geometrin och matemagin. Han kunde gå fram där ingen matemagiker gått förut och finna sanningar inom allt från differentialkalkyl och komplexanalys till talteori och till och med Enhetscirkelnfysikens dunkla områden. Med Enhetscirkeln i sin hand stod Euler snart högt över alla andra matemagiker, närmare självaste Euklides än sina medmänniskor. Fem lärjungar tog han till sin sida och upphöjde över resten av matemagikerna, och tillsammans såg de sig som härskare över världen.

Resten av matemagikerna åsåg dock Eulers växande makt med fasa. Ingen enskild människa kunde få ha sådan kontroll över matemagin. Även fysikerna, dessa oheliga hädare, fruktade Eulers makt, och tillsammans med de euklidiska följarna planerade de Enhetscirkelns fall. En första stor Allians mellan matemagiker och fysiker, ledda av Mayer och Playfair, marscherade djupt in i hjärtat av Eulers rike. Och på bergens sluttningar kämpade de.

Inte sedan de mörka tiderna hade sådan matemagi skapats som den dagen. Eulers lärjungar gjorde hårt motstånd, men en efter en fick de vika sig för Alliansens propositioner och logik, all sin makt till trots. Slutligen nådde matemagikern Tobias Mayer den boning som Euler låtit uppföra på bergets topp, och han stod öga mot öga med Enhetscirkelns mästare. Kampen som följde var fruktansvärd. Mayer var mäktig, men Enhetscirkelns makt var större. Euler slog ned sin motståndare med ett bevis som var briljant i sin enkla tydlighet och allt hopp tycktes vara förlorat då han gjorde sig redo för nådastöten.

Men i den stunden samlade Mayer sina sista krafter och slog Enhetscirkeln ur Eulers grepp. Euler gav ifrån sig ett tjut av vrede och missräkning, och i en väldig ljusblixt exploderade han och var borta. De kvarvarande matemagikerna samlades lättade kring Mayer, men alla kastade de olustiga blickar mot Enhetscirkeln. Var och en av dem hade bevittnat dess väldiga makt och de visste att den var allt för stor för en ensam matemagiker.

”Den måste förstöras”, sade Mayer med darrande stämma. ”Enhetscirkeln måste försvinna!”

”Men hur?” frågade någon missmodigt. ”Hur kan vi förstöra något så mäktigt?” Röster höjdes överallt med olika förslag, och skräcken i matemagikernas och fysikernas blickar var uppenbar. Men bakom skräcken skymtade begäret. Innerst inne önskade även de att få ta del av makten.

”Mina vänner!” ropade plötsligt matemagikern Monge och såg leende ut över sina kamrater. ”Ser ni inte att den är en gåva. En gåva från självaste Euklides. Varför inte använda detta verktyg för att besegra alla svårigheter och nå stor kunskap?” Och han lyfte upp Enhetscirkeln och höll fram den mot de övriga. En efter en grep de sålunda denna mäktiga cirkel, och en efter en tog de del av Eulers makt.

Från och med den dagen spreds Enhetscirkelns hemligheter till när och fjärran, både till euklidiska och icke-euklididiska följare, både inom matematiken och till andra vetenskaper. En ny tidsålder tog vid och världen blev sig aldrig   lik igen.

Men legenden talar om en arvtagare till Euler som en dag kommer att kliva fram för att återta Enhetscirkeln. Och härska över världen…Euler