Kategoriarkiv: 2014

Texter från 2014

2014, Blogg

Köpa eller inte köpa?

22 september, 2014 Joar Jensén Lämna en kommentar

Köpa eller inte köpa, är vi bara vänner och borde jag skaffa husdjur är dagliga problem som människor grubblar över natt och dag. Nu behöver man inte göra det mera! Garth Sundem hara nu kommit på många enkla sätt att lösa dagliga frågor och problem som människan ställer till sig själv. Garth har skrivit en bok, ”Insinöörin logiikka”, som innehåller en stor mängd formler, med vilka man kan lösa människans dagliga frågor och problem.

Nedan finns det fyra formler från hans bok som du kan ha nytta kanske redan idag.

Köpa eller inte köpa?
Om man hittar något föremål på stan som man genast faller för, får många behovet att direkt köpa det. Nu finns det en formel som kommer att berätta för dig om det är ett vettigt alternativ att köpa föremålet eller inte.

K = Hur mycket behöver jag föremålet? (1-10, om 10 är ”detta är viktigare än min flickvän/pojkvän.”)
H = Hur mycket vill jag ha föremålet? (1-10, om 10 är ”sålde fruns retur-biljett på Huuto.net för att få saken.”)
S = Hur bra investering är det? (1-10, om 10 är ”livets bästa investering.”)
M = Hur många månader har du vilja ha föremålet?
P = Din månadslön.
L = Summan av räkningarna som du får ungefär per månad (om summan är allt för skrämmande, sätt antal räkningar istället.)
V = Hyran.
T = Saldot på ditt konto för tillfälle.
O = Priset på föremålet.
Om Osta ≥ 1 KÖP!

Bara vänner?
Att veta om man är bara vänner eller inte, är något även de lärde tvista om.
Tack och lov finns det en formel även för detta, som hjälper dig att veta var ert förhållande ligger och om det finns en möjlighet att gå vidare.

P = Till vilken ”base” har du varit till, med henne/honom (0-4, om 4 är ”strike.”)
Kp = Hur många gånger har du sluppit till någon ”base”.
Kg = Hur många gånger har ni haft den senaste månaden ”roligt”?
V = Hur attraktiv är hon/han? (1-10, om 1 är ”det är skönheten på insidan som räknas.”)
S = Hur många gånger har du försökt ha ett förhållande med henne/honom?
T = Hur många månader har du känt henne/honom? (Talet kan vara max 36, även om du har känt henne/honom längre.)
Y = Hur likadan är er backgrund och målsättning? (1-10, om 10 är ”som ler och långhalm.”)
A = Hur mycket uppskattar du er vänskap? (1-10, om 10 är ”lova donera min organ till henne/honom.”)
Suhde ≥ 0, grattis, du ligger inte i ”the friendzone”.

Borde jag visa min lägenhet?
Nu när du har börjat träffa någon trevlig och ni har varit på ett par träffar, så har du tänkt att möjligen ta henne/honom till din lägenhet. Du är dock inte säker på om du borde göra det, ifall din lägenhet inte är tillräckligt bra för att göra ett gott intryck.
Vs = Hyran / återbetalning av lån
A = Bor du ännu hos föräldrarna? (0 = nej, 2 = jo.)
H = Din ålder.
Vh= Hennes/hans hyra/återbetalning av lån
S = Hur många veckor har ni sällskapat?
M = Hur många gånger har du varit hemma hos henne/honom?
W = Hur många dagar sedan du tvättat wc-byttan?
P = Hur många dagar sedan du tvättat byken?
T = Hur många odiskade kärl finns i din diskho, bordssilver borträknat.
K = Hur många rumskamrater har du? (Föräldrar, syskon, släkting ovs. räknas.)
X = Hur korrupta är dina rumskamrater? (1-10, om 10 är ”året runt togafestande och sniffande av Omo.”)
Y = Sannolikheten att dina rumskamrater är på plats? (1-10, om 10 är ”deras jobb kräver aktivt dejourering.”)
Om Lätti < 1, efter att du har öppnat dörren springer hon/han iväg, om hon/han ännu är vid medvetande.
Om 1 ≤ Lätti < 2, kasta snabbt ut din rumskamrat och ring städfirman.
Om Lätti ≥ 3, ingen fara, bjud henne/honom bara djupare in.

Borde jag skaffa husdjur?
Om du har tänkt på att skaffa ett husdjur så rekommenderas att du prövar denna formel före du skaffar ett. För att vara säker på att du gör rätt val.
S = Hur stor djurvän är du? (1-10, om 10 är ”älskar alla världens djur.”)
H = Hur bra vårdnadshavare är du? (1-10, om 1 är ”min plastkaktus dog i törst.”)
R = Hur mycket mer kärlek behöver du till i ditt liv (1-10, om 10 är ”senaste ömhetstillfället var handskakningen med tv-reparatören.”)
T = Hur många lediga timmar har du i dagen?
V = Hur ansvarsfull är du? (1-10, om 1 är ”skatten och barnen klara sig själv.”)
M = Hur många dagar i rad har du varit på resa de sex senaste månaderna?
Om Jeppe < 1, ett passligt husdjur för dig är en amöba.
Om 1 ≤ Jeppe ≤ 2, du kan skaffa en självskötande guldfisk.
Om 2 ≤ Jeppe ≤ 3, du kan skaffa dig någon slags katt.
Om Jeppe ≥ 3, du kan skaffa en hund åt dig.

Det perfekta spektrumexemplet

Om vi tar Anna och Pelle (namnen ändrade) för att kolla om de är mera än bara vänner. Anna och Pelle har känt varandra i 13 månader och Anna tycker att Pelle är en femma på attraktivskalan 1-10. Det enda som har hänt mellan de två är en puss på kinden, som inte har särskilt stor betydelse för vår formel. Anna och Pelles framtid ser väldigt olika ut och deras bakgrund med, men Anna är en otroligt bra vän till Pelle och för Anna är vänner väldigt viktiga.
Från detta får vi:
P = 0
Kp = 0
Kg = 0
V = 5
S = 0
T = 13
Y = 2
A = 9
så vi får att Suhde = – 84.5653, som < 0, vilket betyder att Anna och Pelle bara är vänner.

Robert

2014, Blogg

Ren matematik, datamatematik och hur man kan lösa det olösliga

14 september, 2014 Spektraklet Lämna en kommentar

En betydande del av den nutida forskningen inom matematik använder datorer som hjälpmedel. Naturligtvis är användningen av datorer mest utspridd i tillämpad matematik och i statistik (bl.a. i form av Monte Carlo-metoder), men dataprogram kan även användas för att bevisa satser som känns väldigt teoretiska. Det mest välkända exemplet lär vara beviset på fyrfärgssatsen.

Datorer har dock ett antal begränsningar: man kan mekaniskt, genom att gå igenom fall ett för ett, bevisa något endast för ett ändligt antal fall. Beräkningar gjorda av en dator är dessutom inte exakta i alla fall. Detta beror på att det i de flesta fallen finns endast en begränsad mängd minne reserverat för decimaltal, och därmed tappar man i vissa fall precision då man utför beräkningar. Oftast är detta ej önskevärt, men i vissa specialfall kan man faktiskt utnyttja denna brist för att göra beräkningar som tekniskt sett inte borde vara möjliga!

Tänk dig att vi skulle i något sammanhang ha behov av en funktion som tar in två reella tal och ger som resultat dess summa, förutom om talen är lika. Ifall talen är lika ger den ut det ena av talen (vilket av dem spelar ingen roll eftersom de är lika). Uttryckt matematiskt är vi alltså intresserade av funktionen $f\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ , där

$f(x, y) = x + y$ ifall $x \neq y$ , och
$f(x, y) = x$ ifall $x = y$ .

På en dator kan ovanstående konstruktion i vanliga fall lätt implementeras med hjälp av en if-sats, men låt oss nu anta att vi av någon orsak inte kan använda oss av konditionaler. Istället måste vi uttrycka ovanstående funktion med hjälp av endast de fyra grundräknesätten. Först skulle vi säkert försöka skapa en multiplikation med noll i något skede för att få en av termerna att försvinna i fallet där de båda är lika:

$x + (x-y)\cdot y \qquad \: (1)$ .

Detta fungerar ifall $x = y$ , men om $x \neq y$ får vi $x + xy - y^2$ , vilket vi inte ville. Vi borde alltså i fallet $x \neq y$ lyckas få den tillagda överloppstermen $x-y$ att försvinna. Ett sätt är att istället använda sig av formeln

$x + \frac{x-y}{x-y} \cdot y \qquad \: (2)$ .

Ifall $x \neq y$ , så ger ovanstående formel det korrekta resultatet $x + y$ . Tyvärr så fungerar den ej i fallet $x = y$ , eftersom vi då stöter på problemet att dividera med noll.

Eftersom de första, mest uppenbara försöken att skapa formeln misslyckades, kan det löna sig att fundera en stund över orsaken på varför vårt tillvägagångssätt ej fungerade. Vi märker att funktionen $f\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ är definierad för alla par av reella tal. Därmed kan vi inte i något skede dela med ett uttryck som kan bli noll, eftersom vi då får till stånd ett par av reella tal där formeln ej är definierad.

Ifall vi undersöker funktionen $f$ närmare märker vi även att den inte är kontinuerlig i hela $\mathbb{R}^2$ . Problempunkterna är punkterna av typen $(a,a)$ där $a \neq 0$ . Om vi t.ex. slår fast x-koordinaten att vara 2, ser vi att det för gränsvärdena gäller att $\lim\limits_{y \to 2^{+}} f(2,y) = \lim\limits_{y \to 2^{-}} f(2,y) = 4$ , men att $f(2,2) = 2$ . Vårt mål var att beskriva funktionen $f$ endast med hjälp av de fyra grundräknesätten. Det är välkänt att funktioner som är uppbyggda endast med hjälp av de fyra grundräknesätten är kontinuerliga i hela sin definitionsmängd. Därmed är det omöjligt att beskriva funktionen $f$ endast med hjälp av grundräknesätten eftersom funktionen inte är kontinuerlig!

Det verkar alltså som vi skulle ha kört fast, eftersom det rent matematiskt är omöjligt att lösa problemet, givet de verktyg vi har. Detta är dock ett av de fall där vi kan utnyttja de begränsningar som datorer ställer på beräkningar av decimaltal. I vanliga fall beskrivs decimaltal av en dator på följande sätt:

$signifikand \cdot bas^{exponent}$ .

Eftersom varje decimaltal ges en konstant mängd utrymme i datorns minne, finns det en gräns på storleken på signifikanden (dvs. hur många signifikanta siffror talet kan ha) och även en gräns på hur stor exponenten kan vara. Detta leder till att datorn kan representera tal som är nära noll mycket noggrant, medan precisionen (absolut sett) blir allt mindre ju större talet är. Ifall vi som exempel slår fast basen att vara $10$ och antalet signifikanta siffror att vara $10$ och jämför exponenterna $-20$ och $20$ , ser vi att vi kring talet $10^{-20}$ kan representera skillnader av storleksordningen $0.000000001 \cdot 10^{-20} = 10^{-11}$ , medan vi kring talet $10^{20}$ endast kan representera skillnader av storleksordningen $0.000000001 \cdot 10^{20} = 10^{11}$ ! Därmed om vi t.ex. skulle göra beräkningnen $10^{20} + 1$ skulle resultatet vara $10^{20}$ , eftersom vi ej kan representera tal så noggrant kring $10^{20}$ .

Hur kan vi då utnyttja detta fenomen för att lösa vårt ursprungliga problem? Vi hade tidigare skapat formeln $(2)$ , som fungerar bra förutom att vi kan tvingas dela med noll. För att undvika division med noll kan vi modifiera formeln på följande sätt:

$x + \frac{x-y}{(x-y) + \varepsilon} \cdot y \qquad \: (2′)$ ,

där $\varepsilon$ är ett till absolutbeloppet mycket litet positivt tal (storleken på talet beror på representationen av decimaltalen). Matematiskt sett gäller naturligtvis inte att $(x-y) + \varepsilon = x-y$ , men p.g.a. bristerna i decimaltalsberäkningen kommer likheten att gälla ifall $x$ och $y$ är olika och är tillräckligt stora. Kvoten $\frac{x-y}{(x-y) + \varepsilon}$ är alltså $1$ ifall $x \neq y$ , och därmed uppfyller formeln $(2′)$ kravet att $f(x,y) = x + y$ om $x \neq y$ .

Å andra sidan ifall $x = y$ , så är naturligtvis $x - y = 0$ och därmed är $0 + \varepsilon = \varepsilon$ , eftersom vi kan representera tal noggrant kring noll. Därmed undviker vi division med noll och kvoten $\frac{x-y}{(x-y) + \varepsilon}$ blir 0. Alltså gäller det för formeln $(2′)$ även att $f(x,y) = x$ ifall $x = y$ .

Vi har alltså lyckats trolla fram en formel som med hjälp av datorberäkningar löser ett matematiskt sett omöjligt problem. Dock har formeln sina begränsningar; t.ex. får talen $x$ och $y$ ej vara för små, för då skulle additionen av talet $\varepsilon$ påverka det slutliga resultatet som formeln $(2′)$ ger. I de flesta fallen är precisionsproblemen i decimaltalsräkningen något man försöker undvika (se t.ex. Wikipedia-artiklen om ämnet), men i vissa fall kan man faktiskt dra nytta av dem. Det är bra att komma ihåg att begränsningar som datorer ställer inte alltid är endast negativa; i vissa fall kan vi p.g.a. begränsningarna lösa problem som annars vore olösliga.

Jag vill till sist tacka Lasse för idén till artikeln! Den som är intresserad att lära sig mer om ämnet kan börja t.ex. med Wikipedia-sidan IEEE floating point.

Sebbe

2014, Blogg

Helt skit artikel, del 2: Serotonin – En historia om diarré, LSD och antidepressanter

20 juli, 2014 Spektraklet Lämna en kommentar

I förra delen i skitserien behandlades det eventuella sambandet mellan nationella mängden intagen koffein och förbruket av toalettpapper. Även denna artikel tangerar ämnet, men ur neurokemisk synvinkel. Människan är ett komplext neurobiologiskt system som regleras med flera olika signalämnen, såsom serotonin, dopamin och acetylkolin. De reglerar humör, aptit, sömn, inlärning och minne, samt flera fysiologiska funktioner. Ja, men VARFÖR bry sig? I moderna tider utsätts vi för en ökande mängd olika preparat, som med eller utan avsikt påverkar våra handlingar i vardagliga situationer. Därmed är det viktigt att veta HUR de påverkar oss. Denna artikel har serotonin i focus.

Historien börjar inte direkt med skit, utan med själva tarmen. Ca år 1950 upptäckte italienska forskande att tarmcellerna innehöll ett nytt okänt ämne, serotonin. Ungefär samtidigt hittade två andra forskargrupper, oberoende av varandra, serotonin i trombocyter, dvs blodplättar, och i hjärnan. Det var uppenbart att serotonin hade en viktig biologisk roll.¹

Några år tidigare, 1943, hade schweizaren Albert Hofmann upptäckt de psykedeliska effekterna av LSD.² Många forskade gjorde iakttagelsen att LSD och serotonin hade en mycket liknande struktur, bild 2. Om LSD hade en mycket stark effekt på sinnet redan med små doser, så kanske även serotonin hade en neurologisk funktion? Hypotesen var alltså att patienter med tarmsjukdomar skulle ha höjda eller sänkta serotoninhalter, och därmed mentala problem. Mycket riktigt bevisade man 1954 att patenter med diarré pga en viss typ av tarmcancer hade höjda halter av serotonin, men ingen koppling till mentala sjukdomar kunde finnas. På 1950- och 1960-talet behandlades dessa cancerpatenter med fenklonin, ett ämne som inhiberar biosyntesen av serotonin. Behandlingen lättade på diarrésymptomen men patienterna fick symptom som liknade depression. Detta var början för hypotesen att depression orsakas av serotoninbrist i hjärnan. Med andra ord var tanken att depression kunde botas genom att höja halten av serotonin i hjärnan.

Bild 1: Albert Hofmann med en kemisk modell av LSD. Han dog år 2008 vid en mogen ålder av 102 år.

Bild 2: Jämförelse av serotonin, till vänster, och LSD, till höger. Gemensamma strukturen är märkt med rött.

Men hur borde man gå till väga för att öka halten serotonin? Lösningen till dilemmat kräver kunskap om serotoninets roll i centrala nervsystemet, bild 3. Nervceller är inte direkt kopplade till varandra, utan i stället förmedlar de signaler till varandra över små klyftor, s.k. synapser. Olika signaler förmedlas i synapserna med flera olika signalmolekyler, till vilka även serotonin hör. Nervcellerna lagrar serotonin i s.k. vesiklar, som är speciella membraner (”bubblor”). Vesiklarna transporteras till ytan när en nervcell skall förmedla en signal, vilket resulterar i en utlösning av serotonin. Serotonin binder sig till receptorer i mottagande cellen. Det finns sju kända receptortyper för serotonin, och dessa kan ha flera underklasser. Ju mer serotonin som binder sig till receptorerna, desto starkare är signalen som mottagande cellen förmedlar. Till slut lossnar serotonin från receptorerna och upptas tillbaka till ursprungliga nervcellen med ett transportprotein, som fungerar som en pump. Upptaget serotonin bryts ner i nervcellen. Upptagningsmekanismen ser till att signalen inte förmedlas en längre tid än vad är nödvändigt.

Bild 3: Schematisk representation av en synaps.

Med kännedom av synapsernas funktion blev ledande tanken bland forskare att låga serotoninhalter kunde kompenseras med att hålla serotonin längre mellan nervcellerna. Forskningens focus blev därmed att störa serotoninpumpens funktion med något lämpligt ämne. Det var önskvärt att utveckla läkemedel som inte påverkade andra signalämnespumpar, utan endast serotoninpumpen, s.k. selektiva serotoninåterupptagshämmare (selective serotonin reuptake inhibitor, SSRI). En svensk forskargrupp var år 1969 de första att utveckla en SSRI och bevisade dess effekt i behandling av depression.¹ Några år senare utvecklades fluoxetin, bättre känd under varunamnet Prozac, en liknande SSRI som godkändes för bruk år 1987 av FDA. Bruket av antidepressanter, till vilka SSRI hör, har ständigt ökat i hela världen. År 2000 var konsumtionen i Finland 36 dagliga doser per 1000 invånare (DDD), medan år 2011 hade siffran fördubblats till 70 DDD. Medeltalet för de undersökta länderna var 31 DDD år 2000 och 56 DDD år 2011.³

På senare år har det blivit uppenbart att depression inte orsakas av serotoninbrist. Om antidepressanter fungerar, så är det inte för att de ökar serotoninhalten. Detta har lett till att bruket av antidepressanter har ifrågasatts.⁴ Situationen kan liknas med att Burana botar huvudvärk, men inte på grund av att kroppen har brist på Burana. Är det etiskt rätt att behandla patienter med läkemedel vars verkningsmekanism är okänd?

Situationen blev avsevärt mer komplex år 2006 då det upptäcktes att det finns två olika pumpar, serotonintransportprotein (SERT) och cellmembranmonoamintransportprotein (PMAT). SERT har länge varit känd och SSRI utvecklades för att störa denna, medan PMAT var en ny upptäckt. Serotonin binder sig ungefär 100 gånger bättre till SERT än till PMAT. Detta kan ge illusionen om att SERT ansvarar för största delen av upptagningen av serotonin. Faktum är att PMAT bidrar till upptaget med en avsevärd del, då den transporterar mycket fortare än SERT. Många SSRI blockerar även PMAT, men detta kräver mycket högre doser än vad som normalt används för depressionsbehandling.⁵

Vad lär vi oss om detta? Hjärnan är ett mycket komplext organ, som vi än idag inte fullt förstår. Upptäckten av PMAT-pumpen är ett bra exempel hur vår förståelse om en viss funktion, i detta fall upptagningen av serotonin, kan totalt förändras. En upptäckt kan ifrågasätta årtionden av medicinsk praktik, samt ställa läkemedelsindustrin i ett tvetydigt ljus. Kan man marknadsföra en produkt om den ”fungerar” men man vet inte hur?

[1] Sjoerdsma, A., Palfreyman M.G. Annals of the New York Academy of Sciences, 600 (1990) 1

[2] Bad trip, but thousands followed, The Saturday Morning Herald, 2.5.2008, <http://www.smh.com.au/news/obituaries/bad-trip-but-thousands-followed/2008/05/01/1209235053330.html>, hämtad 20.7.2014

[3] HEALTH AT A GLANCE 2013: OECD INDICATORS, 21.11.2013, s. 102-103, <http://www.oecd.org/els/health-systems/Health-at-a-Glance-2013.pdf>, hämtad 20.7.2014

[4] Lacasse, J.R., Leo J. PLoS Med, 2 (2005) 392

[5] McDuffie, J.E., Motley, E.D., Limbird, L.E., Maleque, M.A. J. Cardiovasc. Pharmacol. 35 (2000) 398–402

Spektrum rfs medlemstidning