Kategoriarkiv: 2013

Texter från 2013

2013, Blogg

Inblick i Thorax-spexet och en liten, söt påminnelse om ylonz.

9 april, 2013 Spektraklet Lämna en kommentar

Som seden sig bör har Spektrum även denna vår stuckit in sina trynen i Thorax-spexet. ”Guldrushen” var något utöver det vanliga; inte ett öga var torrt från glädjetårar och inte en skumppakork kom undan ödet att hamna på scenen i desperata försök att träffa aktörerna.

För de av er som aldrig har hört ordet spex, eller tidigare haft något behov att ta reda på dess betydelse, så kan jag meddela er att jag inte heller visste vad det var innan lördagen. En kort förklaring på det hela skulle vara något i stil med detta; ett förlöjligat och roligt skådespel baserat på ett känt drama, hitorisk person eller händelse. Om ni ännu inte riktigt känner att ni förstått vad jag menat med det hela, så kan ni ju kolla in Thorax egen hemsida.

”Guldrushen” återspeglade försöken att finna guld i Amerika. Hela spektaklet fick det att tåras i ögonen på publiken och gamla sura gubbar att fnissa som tonåringar. Ordet ”omstart” hördes troligen oftare än något annat under föreställningen och skådespelarna gjorde inte publiken besviken med sina egna tolkningar. Kvinnorna i publiken hade ögongodis i form av en väldigt vältränad man, medan herrarna kunde frossa över alla kurvor de hittade på scenen (tyvärr var de flesta kurvorna något egengjorda).

Om jag skulle sammanställa hela spexet, så skulle troligen dessa ord passa ganska bra; pingviner, guld, schizofreni, kärlek mellan indianman och han med musklerna, ekonomiproblem, offerritualer och otrohet. Kom därför med nästa år när Spektrum återigen beger sig till Thorax-spex för att få underhållning på hög nivå och glöm då inte att ta med er en KALL skumppaflaska.

YLONZ!!

Som ingen kan ha missat så ser man Ylonz titta fram bakom hörnet. Datumet för ylonz i år är 13.4, alltså nu på lördag. Spektrum har i år nio lag som ska försöka tävla om den värdiga förstaplatsen. Jag hoppas att alla om inte ljudligt, så mentalt hejar på våra tävlande i sina försök att hitta rätt. Om man inte själv har tid att delta i spektaklet går det alltid att dyka upp först till efterfesten och där skratta åt allt och alla. Om man vill ta sig en titt på startlistorna eller annars bara vill ha lite allmän info om ylonz, så föreslår jag att ni tar er en titt här: http://ylonz.fi/ylonz.html

Sandra

2013, Blogg

Spektrum för 20 år sedan – upptäckter från diabildsarkivet

4 april, 2013 Spektraklet 2 kommentarer

Under en svag stund i mitt liv tyckte jag att inskanning av de ca 3000 diorna från Spektrums arkiv inte lät som en alltför jobbig idé. Dum som jag var, så delade jag med mig av denna åsikt. Då årets styrelse, mot förmodan, inte glömde bort detta var vi med Lybeck tvungna att sätta oss ner framför datorn en lördagsmorgon klockan 11 och börja. Några timmar senare fick vi även sällskap av Henrika, Sebbe och Toffe. Tillsammans höll vi på i ca 7 timmar och lyckades skanna runt 600 av diorna och kasta bort ytterligare 1400 av dem (de var varken särkilt bra eller intressanta). De återstående tusen ligger för tillfället på vårt golv och skall nog förr eller senare hitta sig in i datorn.

Fastän takten på inskannandet inte var särskilt snabb, så var dagen ändå inte alltför trög. Vi fick en bra inblick i Spektrum åren 1985 – 1998. Jag kommer nu att dela med mig av dessa upptäckter illustrerade med en del, en väldigt liten del, av bilderna. Vissa av bilderna kommer aldrig att publiceras offentligt och andra kommer eventuellt att hitta sig till bloggen vartefter jag får kontakt med de människor som kan ge oss lov till det.

1. Dior är awesome!

Det första konstaterande har kanske inte någonting med Spektrum att göra, men jag var väldigt positivt överraskad av hur bra diorna hade hållit i 20+år. Det var väldigt få som hade lidit märkbart mycket av åren. Man undrar hur väl dvd-skivorna som de bränns på kommer att hålla – men å andra sidan tror jag inte att det kommer finnas så hemskt många diaskanners om 20 år…

2. Spektrum var en ”större” förening för 20 år sedan

Då man ser på bilderna så märker man ganska snabbt att det deltog mera människor på så gott som alla evenemang som fotades. De flesta bilderna var tagna under olika dammiddagar (surprise surprise) eller årsfester. Det deltog i genomsnitt kring 100 människor på en ”icke-jubileums” årsfest i slutet av 80-, början av 90-talet. Även dammiddagarna verkade vara mer populära än under de senaste åren. Det fanns alltid över 10 deltagande damer på dem.

Varför intresset för evenemangen var större på den tiden är svårt att veta, speciellt med tanke på punkt 13.

3. Vi hittade två bilder där vi med säkerhet kände igen Linus Torvalds

Det är ändå någon som undrar…

4. Klubben var större och renare

Detta är föga överraskande med tanke på att Klubben har haft 20 år på sig att samla smuts och saker som ”kan vara bra att ha”. Dock så har det nog försvunnit saker därifrån också, t.ex. hittades det dior där någon använder en trådtelefon. Det verkar även ha funnits en TV under 90-talet. Huruvida det är en bra eller dålig sak att det finns mer rekvisita nuförtiden går ju att argumentera. Själv tycker jag att lite mindre saker på Klubben kunde vara önskvärt. Detta på grund av att:

5. Sitserna var på sätt och vis mer mångsidiga

Den kanske mest utstickande detaljen var möjligheten att sitsa sittandes på golvet. Detta användes bl.a. på Robin Hood-herrmiddag och stenålderssits. Förstås går det ju att påstå att Klubbens golv i det skick som det är nu inte går att sitsas på. Men mer utrymme på Klubben skulle säkert öka möjligheterna för vad som går att ordna.

6. Folk satsade mycket mer på sitserna

Även då det inte handlade om en dam/herrmiddag såg vi massor med bilder på folk med ansiktet fullständigt målat. Att klä upp sig enligt temat verkade helt tydligt vara normen på den tiden.

7. Maten som serverades på sitserna var sämre

Nu då det känns som om punkterna hittills bara har handlat om hur mycket bättre det var då, så skall vi ta något som är bättre nuförtiden. Denna extremt subjektiva åsikt är förstås mycket påverkad av att det fanns ca tre bilder på sitsmaten. Men även då verkade maten som servades ofta komma från en enda stor kastrull och bestå av ”röra”.

8. Ordnandet av sitser var lite jobbigare

Förbättringen av kommunikation får vi väl främst tacka e-mail/google för.

Vi fann en bild av betarnas anslagstavla och en notis om deras julfest. Julfesten ägde rum i Kilo FBK och på notisen fanns även en handritad karta över Kilo. Anmälningen till julfesten skedde genom att skriva sitt namn på listan som också fanns på anslagstavlan, dvs. för att anmäla sig, eller ens höra om saken, måste man ta sig till anslagstavlan och skriva in sig. Undrar hur Ylonz-anmälningen gick till?

9. Dagens nya idéer är högst troligen inte nya

Som ett exempel av detta hittade vi dammiddags program där idén var att öppna en kokosnöt – precis det som infördes på gulisintagningen i fjol som en ersättare för fisken.

10. Det fanns många idéer som definitivt borde återinföras

Igen för att nämna ett exempel så hittade vi bilder på en ”snapsbalk”. Enligt vår tolkning så handlade om ett ”straff” där ens händer och huvud sattes fast i en skumgummibalk. Efter det ställdes två snapsglas på balken som skulle hävas av den ”skyldige”. En återinförning av denna ädla tradition har det redan ryktats om.

11. Att vara med i Klubbmästeriet var jobbigare på den tiden

Glasflaskor… behöver man säga mera?

12. Halarna var Kone-färgade

Intressant nog är den halarfärgen som mest liknar den gamla goda tidens halare halarna från 2010, även kända som ”griskullen”. Så gott som alla halarna hade en mer ljusrosa nyans än nuförtiden. Vår teori är att eftersom de färgade halarna själva, så höll helt enkelt inte färgen lika bra. Men vem vet?

Förutom halarna så verkade det vara mycket mer vanligt att ha Spektrum-huppare och t-skjortor. Detta anser undertecknad att borde införas på nytt.

13. I grund och botten så var det samma förening för 20 år sen som nu

Trots skillnaderna som nämnts så var Spektrum före millennieskiftet ändå Spektrum. Klubben var en kolkällare, belägen någonstans i Kronohagen. Folk drack snaps och öl under sitser. På dammiddags/herrmiddagsjatkona var folk berusade. Det ordnades en årsfest ungefär en gång i året. Det hände sig att spektrumiterna nu och då studerade vetenskaper? Det vill säga, helt klart samma förening som nuförtiden. Ja, och sist men inte minst; Pünschen togs även förr med stil.

Till sist några bilder. Som sagt, om någon har information om vem som kanske har tagit bilderna, eller vem som finns på dem, eller vad som egentligen händer på dem, får man gärna ta kontakt med mig: jeremias.berg@cs.helsinki.fi

Stort tack till alla som höll sällskap under inskanningen och ett extra stort tack till Henrika som lagade mat åt oss.

Jeremias

2013, Blogg

Matematikhörnan: Delbarhet

2 april, 2013 Spektraklet 1 kommentar

I vår nya fina Spektrakel-blogg kommer jag (och förhoppningsvis även andra) med slumpmässiga intervall att skriva artiklar om matematiska problem som jag tycker är intressanta. Denna del av bloggen har jag valt att kalla Matematikhörnan. Det första inlägget handlar om delbarhet.

Delbarhet är en grundläggande men viktig del av talteori. Detta inlägg går igenom grunderna med delbarhet och kongruenser, och i slutet presenteras några små resultat.

Obs! Ifall inte annat nämns, är alla tal i denna artikel heltal.

Definitioner och några enkla satser

Definition 1: Talet d delar talet n, om $\frac{n}{d}$ är ett heltal. Vi betecknar detta $d \mid n$ . Ifall d delar n kan vi alltså skriva $n = kd$ för något heltal k.

Definition 2: Vi säger att talen a och b är kongruenta modulo n, ifall $n \mid (a-b)$ . Detta betecknas $a \equiv b$ (mod n).

En observation: Ifall $a \equiv b$ , gäller $a-b = nk$ , dvs. differensen av a och b är en multipel av n.

Sats 3: Om $d|n$ och $d|m$ , så gäller för alla heltal a och b att $d|(an + bm)$ .

Bevis: Vi vet att $n = kd$ och $m = ld$ för några l och k, alltså gäller det att $an + bm = akd + mld = d(ak+ml)$ , dvs $d\mid(an + bm)$ .

Sats 4: Ifall $a \equiv b$ (mod n) och $c \equiv d$ (mod n), så gäller $a\pm c \equiv b \pm d$ (mod n) och $ac \equiv bd$ (mod n).

Bevis: Eftersom $n \mid (a-b)$ och $n \mid (c-d)$ , gäller enligt föregående sats att $n\mid((a-b)+(c-d)) = ((a+c) - (b+d))$ , och även $n\mid((a-b)-(c-d)) = ((a-c) - (b-d))$ . Alltså gäller första påståendet.

För att visa det andra påståendet räcker det att märka att enligt Sats 3 gäller det att $n\mid(c(a-b) + b(c-d)) = (ac - bd)$ .

Av Sats 4 följer enkelt följande:

Följdsats 5: Om $a \equiv b$ (mod n), så gäller $a^{m} \equiv b^{m}$ för alla positiva heltal m.

Några välkända delbarhetsresultat

Vi kan med hjälp av satserna ovan bevisa några praktiska resultat om delbarhet. Troligtvis vet vi alla från tidigare att ett tal är delbart med två om och endast om dess sista siffra är delbar med två, och att ett tal är delbart med fem om och endast om dess sista siffra är delbar med fem. Värför gäller då detta?

Som bekant kan vi skriva alla heltal k i formen $k = a_{n}10^{n} + a_{n-1}10^{n-1} + \cdots + a_{1}10^1 + a_{0}10^0.$

Eftersom $10 \equiv 0$ (mod 2) och $10 \equiv 0$ (mod 5), gäller alltså även att $10^{m} \equiv 0^{m} = 0$ (mod 2) och (mod 5) för alla positiva m, alltså får vi att

$k = a_{n}10^{n} + a_{n-1}10^{n-1} + \cdots + a_{1}10^1 + a_{0}10^0 \equiv a_{0}$ (mod 2) och (mod 5).

Delbarheten beror alltså endast på sista siffran.

Ett lite mindre trivialt, men ändå välbekant resultat är att ett tal är delbart med tre om och endast om dess siffersumma är delbar med tre: Eftersom $10 \equiv 1$ (mod 3), är även $10^{m} \equiv 1^{m} = 1$ (mod 3), och därmed följer

$k = a_{n}10^{n} + a_{n-1}10^{n-1} + \cdots + a_{1}10^1 + a_{0}10^0 \equiv a_{n} + a_{n-1} + \cdots + a_{1} + a_{0}$ (mod 3),

Exempel: 432 är delbart med tre, eftersom $432 \equiv 4 + 3 + 2 = 9 = 3*3 \equiv 0$ (mod 3).

För stora tal kan metoden användas flera gånger, dvs. om siffersumman blir så stor att man inte direkt ser om den är delbar med tre, kan man beräkna siffersummans siffersumma och kontrollera om den är delbar med tre.

Vi märker också att eftersom $10 \equiv 1$ (mod 9), kan vi använda samma metod för att bestämma delbarhet med nio.

Fler delbarhetsresultat

Till näst undersöker vi delbarhet med 11. Eftersom 10 = 11 – 1, gäller $10 \equiv -1$ (mod 11). Därmed är $10^{m} \equiv (-1)^{m} = 1$ (mod 11) om m är jämnt och $10^{m} \equiv (-1)^{m} = -1$ (mod 11) om m är udda. Då gäller alltså för talet k att

$k = a_{n}10^{n} + a_{n-1}10^{n-1} + \cdots + a_{1}10^1 + a_{0}10^0 \equiv \pm a_{n} \mp a_{n-1} \cdots -a_{1} +a_{0}$ (mod 11),

var tecknet på $a_{n}$ beror på om n är udda eller jämnt.

Exempel: $11 \mid 7623$ , eftersom $7623 \equiv -7 + 6 - 2 + 3 = 0$ (mod 11).

Exempel: $11 \mid 52415$ , eftersom $52415 \equiv 5 - 2 + 4 - 1 + 5 = 11 \equiv 0$ (mod 11).

Exempel: $11 \nmid 11372$ , eftersom $11372 \equiv 1 - 1 + 3 - 7 + 2 = -2 \not\equiv 0$ (mod 11).

Vi kan alltså bestämma delbarheten genom att multiplicera siffrorna i talet med antingen talet 1 eller -1 och sedan summera dem.

Sekvensen för vilket tal vi skall multiplicera med vilken siffra är för talet 11 alltså (ifall vi börjar från den minst betydande siffran) 1, -1, 1, -1 osv.

Från våra tidigare resultat får vi även sekvenserna för följande tal:

2: 1, 0, 0, 0…
3: 1, 1, 1, 1…
5: 1, 0, 0, 0…
9: 1, 1, 1, 1…
11: 1, -1, 1, -1…

Läsaren har säkert redan märkt att vi hoppat över ett primtal, nämligen talet 7. Ifall vi beräknar sekvensen för talet 7, kan vi ganska enkelt med huvudräkning bestämma om ett tal mindre än 169 är ett primtal, eftersom då är dess kvadratrot mindre än 13, och då måste (minst) en av primtalsfaktorerna vara mindre än 13.

Vilken sekvens hittar vi alltså för sjuan?

Första talet i sekvensen är naturligtvis 1, eftersom $1 \equiv 1$ (mod n) för alla n.

De övriga talen i sekvensen fås enligt följande:

$latex \begin{array}{ll}
10 \equiv 3\\

10^2 \equiv 3*3 = 9 \equiv 2\\

10^3 \equiv 3*2 = 6 \equiv -1\\

10^4 \equiv 3*(-1) = -3\\

10^5 \equiv 3*(-3) = -9 \equiv -2\\

10^6 \equiv (-1)^2 = 1
\end{array}$ (mod 7)

Vi ser nu att $10^7 = 10*10^6 \equiv 10 \equiv 3$ (mod 7), och därmed kommer sekvensen att upprepa sig. Vi kan alltså fylla på vår lista:

2: 1, 0, 0, 0, 0, 0…
3: 1, 1, 1, 1, 1, 1…
5: 1, 0, 0, 0, 0, 0…
7: 1, 3, 2, -1, -3, -2…
9: 1, 1, 1, 1, 1, 1…
11: 1, -1, 1, -1, 1, -1…

Vi har nu räknat ut delbarhetssekvenserna för vissa tal, varav alla har en viss period varefter sekvensen upprepar sig. Kommer då sekvensen för alla naturliga tal att ha en ändlig period, dvs. har alla tal en sekvens som i något skede börjar upprepa sig? Denna fråga undersökes i min nästa artikel i Matematikhörnan.

Sebbe

Referenser:

Anne-Maria Ernvall-Hytönen: Elementär talteori. Föreläsningsanteckningar, Helsingfors universitet, 2013.

Definitioner och några enkla satser

Några välkända delbarhetsresultat

Fler delbarhetsresultat

Spektrum rfs medlemstidning