Kategoriarkiv: Vecktraklet

Den icke-trivialaste trivian du inte vill missa! Semi-regelbundna korta texter, länkar till andra webbsidor och simpla förklarningar på ting.

2018, Vecktraklet

Palles musikhörna: This is not the music you’re looking for

Lämna en kommentar

Då jag hör parodier på låtar, så brukar jag vanligtvis sucka och stöna, men då de är av bra kvalitet såsom den här låten, så kan jag inte låta bli att le 🙂 Vem skulle inte tycka det är kul med naturvetenskapliga lyriker ovanpå bekanta Star Wars-melodier.

Science Wars är skriven och uppförd av personerna bakom YouTube-kanalen AsapSCIENCE. Låten är en parodi på följande bakgrundsmusik från Star Wars:
Main Theme
Duel of the Fates
Cantina Band
Main Theme (pånytt)
The Imperial March
The Force Theme

P.S. Tre veckor kvar till Solo: A Star Wars Story, hype!

2018, Vecktraklet

Det absolut simplaste beviset att √2 är irrationellt

Lämna en kommentar

Har du någonsin läst standardbeviset för att √2 är irrationellt och tänkt något av följande?
– ”Usch, delbarhet”,
– ”Fy, motantaganden”, eller
– ”Det här beviset var helt för kort!”
Worry not! Här delar jag med mig mitt favoritbevis, som är så självklart och trivialt att till och med humanister kunde uppskatta dess skönhet!

Vi påminner oss ännu om att ett rationellt tal kan skrivas i formen \frac{a}{b}, där a och b är heltal och b ≠ 0. Ett irrationellt tal kan alltså inte skrivas på detta vis.

Påstående:

√2 är irrationellt.

Bevis:

Vi undersöker talföljder (a_n)_{n \geq 0}  med kraven
A) a_n är rationellt för alla n \geq 0
B) a_{n+1} = 2a_n^2 - 1 för alla n \geq 0
C) a_i = a_j för något i \neq j

Det visar sig att det finns ett ändligt antal talföljder som uppfyller dessa krav. Vi kan i själva verket lista upp dem alla.

Om |a_0| > 1 följer det från krav B att talföljden är strängt växande, dvs inget värde upprepas och krav C uppfylls inte. Vi kan alltså anta |a_0| \leq 1

Nu kan man substituera a_0 = \cos{t} för något t \in [0, \pi]. Detta kommer att ge oss en icke- rekursiv formel för talföljden.
Låt oss visa med induktion att a_n = \cos(2^nt) för alla n \geq 0.

Grundsteg:
a_0 = \cos{t} = \cos{(2^0t)}

Induktionssteg:
Med hjälp av formeln för dubbla vinklar, \cos{(2x)} = 2\cos^2{x} - 1,
får vi
a_n = \cos{(2^nt)} \implies a_{n+1} = 2a_n^2 - 1 = 2\cos^2{(2^nt)} - 1 = \cos{(2^{n+1}t)}

Påståendet a_n = \cos(2^nt) gäller alltså för alla n \geq 0.
Nu gäller det att hitta passliga värden på t \in [0, \pi] så att a_n = \cos{(2^nt)} är rationellt för alla a_n \geq 0 (krav A). I själva verket räcker det, att \cos{t} är rationellt, eftersom (”selvästi nähdään”) då är också \cos{(2t)}, \cos{(4t)}, \cos{(8t)} \dots rationella enligt formeln för dubbla vinklar.

För att krav C ska hålla, måste
\cos{(2^it)} = \cos{(2^jt)} för något i \neq j

\implies 2^it = \pm 2^jt + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \\ \implies t = \frac{2k}{2^i \pm 2^j}\pi

där täljaren och nämnaren är heltal och nämaren är olika noll.
Talet t måste alltså vara en rationell multipel av pi!

Nu finns ett användbart resultat, Niven’s Theorem, som säger att de enda rationella multiplarna av pi inom [0, \frac{\pi}{2}] vars cosinus också är rationellt är 0,  \frac{\pi}{3}  och  \frac{\pi}{2}. Satsens bevis använder sig lyckligtvis inte av talets √2 irrationalitet.

Med Niven’s Theorem och några trigonometriska identiteter får vi att t \in \{0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \pi \}, varav följer a_0 \in \{1, \frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}, -1 \}

Alla följder som uppfyller kraven A, B och C är alltså:
1, 1, 1, 1, 1, \dots
\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \dots
0, -1, 1, 1, 1, \dots
-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \dots
-1, 1, 1, 1, 1, \dots

Men nu märker vi ju, att talföljden
\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -1, 1, 1, \dots
uppfyller kraven B och C, men hittas inte på vår lista. Då måste krav A gå fel, och eftersom 0, -1 och 1 tydligt är rationella tal, måste
\frac{1}{\sqrt{2}} och därmed  \sqrt{2} vara irrationellt, Q.E.D.

Funderingar

Det här beviset är ett gott exempel på hur samma matematiska påstående ofta kan bevisas på många olika sätt. Standardbeviset påminner mest om talteori, ofta kallad heltalens matematik. Beviset ovan använder sig mer av algebra (reella tal och deras räkneregler) och analys (förändringens matematik, dvs. talföljder, derivator…).

Ifall du läser detta stycke och inte har läst beviset, så gör det inte nåt. Alla är inte intresserade av matematik och ska inte heller behöva vara det. Men på samma sätt som en poet gillar att skriva och läsa dikter kan en matematiker bli riktigt begeistrad av ett vackert bevis. Det är alltid bra att ha ett öppet sinne för andras intressen, även om man inte vet vad de talar om. Då kanske det är dags för mig att plocka ner diktboken från hyllan…

2018, Vecktraklet

Dagen då jordens naturresurser tog slut

Lämna en kommentar

Den 11 april tog jordens naturresurser slut. Liknande formuleringar har dykt upp på nyhetssajter i form av fängslande rubriker. Den är dock lite missvisande: de naturresurser som jorden kan förnya under ett år tog slut. Men det är inte heller hela sanningen. Den korrekta meningen skulle vara: den 11 april 2018 tog de naturresurser som jorden kan förnya under ett år slut, ifall hela mänskligheten konsumerade som vi i Finland gör. Denna mening är dock inte alls lika dramatisk som den inledande men betydelsen var åtminstone för mig aningen chockerande.

Några länders specifika ”Overshoot Days” 2017.

Jag har levt med en naiv världsbild som säger att vi i Finland tänker miljösmart. Inte att vi går i bräschen för miljövänliga lösningar, men nog att vi skulle vara bättre än vad vi tydligen är. Enligt Earth Overshoot Day [1] så skulle det behövas 3,6 jordklot för att täcka mänsklighetens behov ifall alla konsumerade som vi i Finland gör. På Global Footprint Networks [2] hemsida finns stora mängder statistik på flera länders ekologiska fotavtryck. Finland är inte på något vis sämst i denna statistik. De länder som har minst (och således bäst) fotavtryck är oftast mindre industrialiserade.

Befolkningsmängden på jorden mellan 1950 och 2100 enligt FN:s rapport från 2017.

Ett ur globalsynvinkel mera intressant datum är den så kallade ”Den ekologiska skuldens dag” (eng. ”Overshoot Day”). Denna inföll år 2017 den 2 augusti. Då tog jordens, under ett år förnybara, naturresurser slut. Denna uppskattning är gjord med alla länders förbrukning av naturresurser i beaktande. Detta betyder att det skulle krävas 1,7 jordklot för att upprätthålla den konsumtion som mänskligheten har just nu. Då är frågan: konsumerar vi människor för mycket eller finns det för många av oss?

Överbefolkning tycks vara en av de vanligaste premisserna i moderna katastroffilmer och post-apokalyptiska thrillers. Men det är inte enbart ett billigt Hollywoodtrick. Överbefolkning är ett växande problem på många håll i världen och enligt FN:s prognos från 2017 [3] så kommer jordens befolkning vara över 11 miljarder år 2100. Detta som resultat av den fortgående stora befolkningstillväxten i Afrika (Afrika kommer enligt prognosen år 2100 tävla mot Asien om titeln som jordens folkrikaste världsdel).

Uppskattningarna som Earth Overshoot Day presenterar i form av nödvändiga antal jordklot har från flera håll fått kritik för att vara överdramatiserade publiceringsknep som tar felaktig fakta och statistik i beaktande. Personligen måste jag hålla med om att en stor del av informationen som presenteras på deras hemsida har bristfälliga källhänvisningar.

Ett faktum kvarstår dock: fortsätter vi i den takt vi håller nu så finns det en risk att framtiden kommer föra mera negativt än positivt med sig. Det är möjligt att varje enskild individ måste bidra för att en ljusare framtid ska säkras. Jag är ingen miljöaktivist, jag kommer inte heller kasta omkull min vardag för att säkerställa kommande generationers tillvaro och jag kommer definitivt inte kräva att andra gör det. Men jag kommer göra någonting. Jag kommer att försöka ta det miljösmarta alternativet ibland när tillfället ges. Och jag önskar att flera skulle försöka samma.

Sebbe H, ibland miljömedveten fysiker.

Källor:
[1] https://www.overshootday.org/
[2] https://www.footprintnetwork.org/
[3] https://esa.un.org/unpd/wpp/Publications/Files/WPP2017_KeyFindings.pdf