2013, Blogg

Affina rum och deras betydelse för fysiken

Lämna en kommentar

Man hör ofta fysiker säga att vi lever i en 4-dimensionell rumtid. Sällan, eller aldrig, preciseras ändå inte vad själva rumtiden är, dvs vilket slags matematiskt objekt rumtiden borde modelleras som. Vanligen brukar man uppfatta rumtiden som en mängd fysikaliska punkter, eller händelser som de ibland också kallas. Frågan kvarstår dock vilken struktur denna mängd bör vara försedd med för att kunna kallas ett 4-dimensionellt rum. De flesta som har läst lite matematik är bekanta med begreppet vektorrum och känner till att vektrorrum har en väldefinierad dimension. Frågan är då om vi borde modellera rumtiden som ett 4-dimensionellt vektorrum, kanske rentav \mathbb{R}^4 .

För att undersöka saken kommer vi först att fokusera på ett exempel som är lättare att visualisera: det fysikaliska rummet vid en given tidpunkt (här används alltså den klassiska synvinkeln där tiden är absolut). Inom klassisk mekanik brukar man säga att vi vid varje fixerad tidpunkt befinner oss i ett 3-dimensionellt rum. Man kan igen fråga sig om det rör sig om ett 3-dimensionellt vektorrum, t.ex. \mathbb{R}^3 . Intuitivt verkar det klart att rummet i något avseende måste vara 3-dimensionellt eftersom vi kan beskriva rummet vid en given tidpunkt med hjälp av ett 3-dimensionellt koordinatsystem. Mer exakt kan man skapa en entydig motsvarighet mellan det fysikaliska rummet vid en fixerad tidpunkt och \mathbb{R}^3 efter ett val av origo (dvs den fysikaliska punkt som avbildas på \bar{0} ) samt riktningar och skalor för koordinataxlarna.

Rent matematiskt har vi alltså en bijektion från rummet av fysikaliska punkter till \mathbb{R}^3 . Denna bijektion är förstås beroende av vilken punkt vi väljer som origo, och hur vi vänder koordinataxlarna. Men det finns inget naturligt origo i rummet: vilken punkt som helst kan avbildas på \bar{0}. Detta demonstrerar att det inte är korrekt att uppfatta det fysikaliska rummet som ett vektorrum.

Men vad är i så fall vårt fysikaliska rum? Kan vi förse rummet med en struktur som i något avseende är linjär, men som trots det inte tilldelar någon punkt en särstatus som origo? Detta är precis vad ett affint rum är! Ett affint rum definieras som en mängd S tillsammans med ett vektorrum V och en gruppverkan \Phi : V \times S \rightarrow S. Vi ställer dessutom följande krav på \Phi:

  1. \Phi är trogen: ifall v \in V och \Phi(v,p)=p för alla p i S så är v=\bar{0}.
  2. \Phi är transitiv: för alla p,q \in S existerar något v \in V för vilket q=\Phi(v,p).

Pga att gruppen (V,+) är kommutativ så innebär dessa två villkor också att den enda vektor som fixerar någon punkt är nollvektorn. Dessutom ser vi att vektorn v i det andra villkoret är unik. Man kan intuitivt tolka \Phi(v,p) som ”den punkt i S där vi hamnar ifall vi startar i punkten p, och rör oss i vektorn v:s riktning en sträcka som motsvarar v:s längd.” Av denna anledning betecknar vi vanligen \Phi(v,p) med v+p. Dimensionen för ett affint rum definieras som det motsvarande vektorrummets dimension.

Genom att fixera en godtycklig punkt p \in S får vi nu en bijektion \beta: V \rightarrow S, \beta(v) = v+p.   Anta nu att dim (V) = n < \infty . Fixera en bas för V och låt c: V \rightarrow \mathbb{R}^n vara dess koordinatavbildning. Nu är c \circ \beta^{-1} : S \rightarrow \mathbb{R}^n en bijektion.

Vi ser att konstruktionen av bijektionen S \rightarrow \mathbb{R}^n motsvarar de steg som måste tas för att konstruera koordinater för det fysikaliska rummet. Valet av p innebär ett val av origo, och valet av bas för V innebär ett val av koordinataxlarnas riktning samt skalor.
Således ger ett 3-dimensionellt affint rum en realistisk bild av det fysikaliska ”klassiska” rummet vid en fixerad tidpunkt. På motsvarande sätt kan vi modellera galileisk eller relativistisk rumtid som 4-dimensionella affina rum. Utöver detta är det motsvarande vektorrummet V i fallet av rumtid försedd med extra struktur som beskriver tidens natur (annars skulle det ju inte finnas någon skillnad mellan galileisk och relativistisk rumtid!), men detta behandlas inte närmare här.

En fysiker kunde här påpeka att både den galileiska och relativistiska rumtiden som beskrivits ovan har sina brister. Detta är helt korrekt, och våra modeller fungerar förstås endast inom vissa gränser. Galileisk rumtid har ett ganska begränsat tillämpningsområde eftersom den endast fungerar vid låga relativa hastigheter. Den (flata) relativistiska rumtid som vi här har beskrivit fungerar även vid höga hastigheter, men den fungerar inte för att beskriva fenomen i närheten av massiva objekt. Ifall man vill beskriva sådana fenomen måste rumtiden istället modelleras som en s.k. pseudo-Riemannsk mångfald, men det är en helt annan historia.

Avslutningsvis nämner jag ännu att det finns ett annat ekvivalent sätt att definiera affina rum. I detta fall säger man att ett affint rum är en mängd S tillsammans med ett vektorrum V och en avbildning \alpha: S \times S \rightarrow V för vilken följande gäller:

  1. För varje p \in S och v \in V existerar ett unikt element q \in S så att v= \alpha(p,q).
  2. För alla p, q, r \in S gäller \alpha(p,q)+\alpha(q,r) = \alpha(p,r).

Vektorn \alpha(p,q) kan tolkas som differensen mellan p och q , eller ”den translation som måste göras för att nå q om man startar i p ”.

Ifall vi har ett affint rum definierat enligt den ursprungliga definitionen så ger de båda kraven på \Phi att det för alla p, q \in S existerar exakt en vektor v \in V så att v+p=q. Därmed kan vi definiera \alpha(p,q)=v. Det är nu lätt att verifiera att \alpha uppfyller kraven i den andra definitionen på affina rum. Om vi å andra sidan har ett rum som uppfyller den andra definitionen så kan vi på följande sätt definiera ett \Phi som uppfyller den ursprungliga definitionen: För varje p \in S och v \in V definierar vi \Phi(v,p)=q, där q är det unika element i S för vilket v= \alpha(p,q). Därmed har vi sett att definitionerna är ekvivalenta.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *