{"id":847,"date":"2014-09-14T17:00:28","date_gmt":"2014-09-14T14:00:28","guid":{"rendered":"http:\/\/spektraklet.wordpress.com\/?p=847"},"modified":"2018-03-15T16:07:33","modified_gmt":"2018-03-15T13:07:33","slug":"ren-matematik-vs-datamatematik","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/ren-matematik-vs-datamatematik\/","title":{"rendered":"Ren matematik, datamatematik och hur man kan l\u00f6sa det ol\u00f6sliga"},"content":{"rendered":"<p>En betydande del av den nutida forskningen inom matematik anv\u00e4nder datorer som hj\u00e4lpmedel. Naturligtvis \u00e4r anv\u00e4ndningen av datorer mest utspridd i till\u00e4mpad matematik och i statistik (bl.a. i form av <a title=\"Monte Carlo-metoder\" href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Monte_Carlo_method\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Monte Carlo-metoder<\/a>), men dataprogram kan \u00e4ven anv\u00e4ndas f\u00f6r att bevisa satser som k\u00e4nns v\u00e4ldigt teoretiska. Det mest v\u00e4lk\u00e4nda exemplet l\u00e4r vara beviset p\u00e5 <a title=\"fyrf\u00e4rgssatsen\" href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Four_color_theorem\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">fyrf\u00e4rgssatsen<\/a>.<\/p>\n<p>Datorer har dock ett antal begr\u00e4nsningar: man kan mekaniskt, genom att g\u00e5 igenom fall ett f\u00f6r ett, bevisa n\u00e5got endast f\u00f6r ett \u00e4ndligt antal fall. Ber\u00e4kningar gjorda av en dator \u00e4r dessutom inte exakta i alla fall. Detta beror p\u00e5 att det i de flesta fallen finns endast en begr\u00e4nsad m\u00e4ngd minne reserverat f\u00f6r decimaltal, och d\u00e4rmed tappar man i vissa fall precision d\u00e5 man utf\u00f6r ber\u00e4kningar. Oftast \u00e4r detta ej \u00f6nskev\u00e4rt, men i vissa specialfall kan man faktiskt utnyttja denna brist f\u00f6r att g\u00f6ra ber\u00e4kningar som tekniskt sett inte borde vara m\u00f6jliga!<\/p>\n<p>T\u00e4nk dig att vi skulle i n\u00e5got sammanhang ha behov av en funktion som tar in tv\u00e5 reella tal och ger som resultat dess summa, f\u00f6rutom om talen \u00e4r lika. Ifall talen \u00e4r lika ger den ut det ena av talen (vilket av dem spelar ingen roll eftersom de \u00e4r lika). Uttryckt matematiskt \u00e4r vi allts\u00e5 intresserade av funktionen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f%5Ccolon+%5Cmathbb%7BR%7D%5E2+%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f\\colon \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}' title='f\\colon \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}' class='latex' \/>, d\u00e4r<\/p>\n<ul>\n<li><img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f%28x%2C+y%29+%3D+x+%2B+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f(x, y) = x + y' title='f(x, y) = x + y' class='latex' \/> ifall <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%5Cneq+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x \\neq y' title='x \\neq y' class='latex' \/>, och<\/li>\n<li><img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f%28x%2C+y%29+%3D+x&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f(x, y) = x' title='f(x, y) = x' class='latex' \/> ifall <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%3D+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x = y' title='x = y' class='latex' \/>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>P\u00e5 en dator kan ovanst\u00e5ende konstruktion i vanliga fall l\u00e4tt implementeras med hj\u00e4lp av en if-sats, men l\u00e5t oss nu anta att vi av n\u00e5gon orsak inte kan anv\u00e4nda oss av konditionaler. Ist\u00e4llet m\u00e5ste vi uttrycka ovanst\u00e5ende funktion med hj\u00e4lp av endast de fyra grundr\u00e4knes\u00e4tten. F\u00f6rst skulle vi s\u00e4kert f\u00f6rs\u00f6ka skapa en multiplikation med noll i n\u00e5got skede f\u00f6r att f\u00e5 en av termerna att f\u00f6rsvinna i fallet d\u00e4r de b\u00e5da \u00e4r lika:<\/p>\n<p><img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%2B+%28x-y%29%5Ccdot+y+%5Cqquad+%5C%3A+%281%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x + (x-y)\\cdot y \\qquad \\: (1)' title='x + (x-y)\\cdot y \\qquad \\: (1)' class='latex' \/>.<\/p>\n<p>Detta fungerar ifall <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%3D+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x = y' title='x = y' class='latex' \/>, men om <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%5Cneq+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x \\neq y' title='x \\neq y' class='latex' \/> f\u00e5r vi <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%2B+xy+-+y%5E2&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x + xy - y^2' title='x + xy - y^2' class='latex' \/>, vilket vi inte ville. Vi borde allts\u00e5 i fallet <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%5Cneq+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x \\neq y' title='x \\neq y' class='latex' \/> lyckas f\u00e5 den tillagda \u00f6verloppstermen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x-y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x-y' title='x-y' class='latex' \/> att f\u00f6rsvinna. Ett s\u00e4tt \u00e4r att ist\u00e4llet anv\u00e4nda sig av formeln<\/p>\n<p><img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%2B+%5Cfrac%7Bx-y%7D%7Bx-y%7D+%5Ccdot+y+%5Cqquad+%5C%3A+%282%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x + \\frac{x-y}{x-y} \\cdot y \\qquad \\: (2)' title='x + \\frac{x-y}{x-y} \\cdot y \\qquad \\: (2)' class='latex' \/>.<\/p>\n<p>Ifall <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%5Cneq+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x \\neq y' title='x \\neq y' class='latex' \/>, s\u00e5 ger ovanst\u00e5ende formel det korrekta resultatet <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%2B+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x + y' title='x + y' class='latex' \/>. Tyv\u00e4rr s\u00e5 fungerar den ej i fallet <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%3D+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x = y' title='x = y' class='latex' \/>, eftersom vi d\u00e5 st\u00f6ter p\u00e5 problemet att dividera med noll.<\/p>\n<p>Eftersom de f\u00f6rsta, mest uppenbara f\u00f6rs\u00f6ken att skapa formeln misslyckades, kan det l\u00f6na sig att fundera en stund \u00f6ver orsaken p\u00e5 varf\u00f6r v\u00e5rt tillv\u00e4gag\u00e5ngss\u00e4tt ej fungerade. Vi m\u00e4rker att funktionen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f%5Ccolon+%5Cmathbb%7BR%7D%5E2+%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f\\colon \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}' title='f\\colon \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}' class='latex' \/> \u00e4r definierad f\u00f6r alla par av reella tal. D\u00e4rmed kan vi inte i n\u00e5got skede dela med ett uttryck som kan bli noll, eftersom vi d\u00e5 f\u00e5r till st\u00e5nd ett par av reella tal d\u00e4r formeln ej \u00e4r definierad.<\/p>\n<p>Ifall vi unders\u00f6ker funktionen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f' title='f' class='latex' \/> n\u00e4rmare m\u00e4rker vi \u00e4ven att den inte \u00e4r kontinuerlig i hela <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E2&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\\mathbb{R}^2' title='\\mathbb{R}^2' class='latex' \/>. Problempunkterna \u00e4r punkterna av typen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%28a%2Ca%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='(a,a)' title='(a,a)' class='latex' \/> d\u00e4r <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=a+%5Cneq+0&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='a \\neq 0' title='a \\neq 0' class='latex' \/>. Om vi t.ex. sl\u00e5r fast x-koordinaten att vara 2, ser vi att det f\u00f6r gr\u00e4nsv\u00e4rdena g\u00e4ller att <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Clim%5Climits_%7By+%5Cto+2%5E%7B%2B%7D%7D+f%282%2Cy%29+%3D+%5Clim%5Climits_%7By+%5Cto+2%5E%7B-%7D%7D+f%282%2Cy%29+%3D+4&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\\lim\\limits_{y \\to 2^{+}} f(2,y) = \\lim\\limits_{y \\to 2^{-}} f(2,y) = 4' title='\\lim\\limits_{y \\to 2^{+}} f(2,y) = \\lim\\limits_{y \\to 2^{-}} f(2,y) = 4' class='latex' \/>, men att <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f%282%2C2%29+%3D+2&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f(2,2) = 2' title='f(2,2) = 2' class='latex' \/>. V\u00e5rt m\u00e5l var att beskriva funktionen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f' title='f' class='latex' \/> endast med hj\u00e4lp av de fyra grundr\u00e4knes\u00e4tten. Det \u00e4r v\u00e4lk\u00e4nt att funktioner som \u00e4r uppbyggda endast med hj\u00e4lp av de fyra grundr\u00e4knes\u00e4tten \u00e4r kontinuerliga i hela sin definitionsm\u00e4ngd. D\u00e4rmed \u00e4r det om\u00f6jligt att beskriva funktionen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f' title='f' class='latex' \/> endast med hj\u00e4lp av grundr\u00e4knes\u00e4tten eftersom funktionen inte \u00e4r kontinuerlig!<\/p>\n<p>Det verkar allts\u00e5 som vi skulle ha k\u00f6rt fast, eftersom det rent matematiskt \u00e4r om\u00f6jligt att l\u00f6sa problemet, givet de verktyg vi har. Detta \u00e4r dock ett av de fall d\u00e4r vi kan utnyttja de begr\u00e4nsningar som datorer st\u00e4ller p\u00e5 ber\u00e4kningar av decimaltal. I vanliga fall beskrivs decimaltal av en dator p\u00e5 f\u00f6ljande s\u00e4tt:<\/p>\n<p><img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=signifikand+%5Ccdot+bas%5E%7Bexponent%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='signifikand \\cdot bas^{exponent}' title='signifikand \\cdot bas^{exponent}' class='latex' \/>.<\/p>\n<p>Eftersom varje decimaltal ges en konstant m\u00e4ngd utrymme i datorns minne, finns det en gr\u00e4ns p\u00e5 storleken p\u00e5 signifikanden (dvs. hur m\u00e5nga signifikanta siffror talet kan ha) och \u00e4ven en gr\u00e4ns p\u00e5 hur stor exponenten kan vara. Detta leder till att datorn kan representera tal som \u00e4r n\u00e4ra noll mycket noggrant, medan precisionen (absolut sett) blir allt mindre ju st\u00f6rre talet \u00e4r. Ifall vi som exempel sl\u00e5r fast basen att vara <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=10&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='10' title='10' class='latex' \/> och antalet signifikanta siffror att vara <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=10&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='10' title='10' class='latex' \/> och j\u00e4mf\u00f6r exponenterna <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=-20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='-20' title='-20' class='latex' \/> och <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='20' title='20' class='latex' \/>, ser vi att vi kring talet <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=10%5E%7B-20%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='10^{-20}' title='10^{-20}' class='latex' \/> kan representera skillnader av storleksordningen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=0.000000001+%5Ccdot+10%5E%7B-20%7D+%3D+10%5E%7B-11%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='0.000000001 \\cdot 10^{-20} = 10^{-11}' title='0.000000001 \\cdot 10^{-20} = 10^{-11}' class='latex' \/>, medan vi kring talet <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=10%5E%7B20%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='10^{20}' title='10^{20}' class='latex' \/> endast kan representera skillnader av storleksordningen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=0.000000001+%5Ccdot+10%5E%7B20%7D+%3D+10%5E%7B11%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='0.000000001 \\cdot 10^{20} = 10^{11}' title='0.000000001 \\cdot 10^{20} = 10^{11}' class='latex' \/>! D\u00e4rmed om vi t.ex. skulle g\u00f6ra ber\u00e4kningnen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=10%5E%7B20%7D+%2B+1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='10^{20} + 1' title='10^{20} + 1' class='latex' \/> skulle resultatet vara <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=10%5E%7B20%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='10^{20}' title='10^{20}' class='latex' \/>, eftersom vi ej kan representera tal s\u00e5 noggrant kring <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=10%5E%7B20%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='10^{20}' title='10^{20}' class='latex' \/>.<\/p>\n<p>Hur kan vi d\u00e5 utnyttja detta fenomen f\u00f6r att l\u00f6sa v\u00e5rt ursprungliga problem? Vi hade tidigare skapat formeln <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%282%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='(2)' title='(2)' class='latex' \/>, som fungerar bra f\u00f6rutom att vi kan tvingas dela med noll. F\u00f6r att undvika division med noll kan vi modifiera formeln p\u00e5 f\u00f6ljande s\u00e4tt:<\/p>\n<p><img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%2B+%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B%28x-y%29+%2B+%5Cvarepsilon%7D+%5Ccdot+y+%5Cqquad+%5C%3A+%282%26%238242%3B%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x + \\frac{x-y}{(x-y) + \\varepsilon} \\cdot y \\qquad \\: (2&#8242;)' title='x + \\frac{x-y}{(x-y) + \\varepsilon} \\cdot y \\qquad \\: (2&#8242;)' class='latex' \/>,<\/p>\n<p>d\u00e4r <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Cvarepsilon&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\\varepsilon' title='\\varepsilon' class='latex' \/> \u00e4r ett till absolutbeloppet mycket litet positivt tal (storleken p\u00e5 talet beror p\u00e5 representationen av decimaltalen). Matematiskt sett g\u00e4ller naturligtvis inte att <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%28x-y%29+%2B+%5Cvarepsilon+%3D+x-y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='(x-y) + \\varepsilon = x-y' title='(x-y) + \\varepsilon = x-y' class='latex' \/>, men p.g.a. bristerna i decimaltalsber\u00e4kningen kommer likheten att g\u00e4lla ifall <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x' title='x' class='latex' \/> och <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y' title='y' class='latex' \/> \u00e4r olika och \u00e4r tillr\u00e4ckligt stora. Kvoten <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B%28x-y%29+%2B+%5Cvarepsilon%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\\frac{x-y}{(x-y) + \\varepsilon}' title='\\frac{x-y}{(x-y) + \\varepsilon}' class='latex' \/> \u00e4r allts\u00e5 <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='1' title='1' class='latex' \/> ifall <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%5Cneq+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x \\neq y' title='x \\neq y' class='latex' \/>, och d\u00e4rmed uppfyller formeln <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%282%26%238242%3B%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='(2&#8242;)' title='(2&#8242;)' class='latex' \/> kravet att <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f%28x%2Cy%29+%3D+x+%2B+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f(x,y) = x + y' title='f(x,y) = x + y' class='latex' \/> om <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%5Cneq+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x \\neq y' title='x \\neq y' class='latex' \/>.<\/p>\n<p>\u00c5 andra sidan ifall <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%3D+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x = y' title='x = y' class='latex' \/>, s\u00e5 \u00e4r naturligtvis <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+-+y+%3D+0&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x - y = 0' title='x - y = 0' class='latex' \/> och d\u00e4rmed \u00e4r <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=0+%2B+%5Cvarepsilon+%3D+%5Cvarepsilon&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='0 + \\varepsilon = \\varepsilon' title='0 + \\varepsilon = \\varepsilon' class='latex' \/>, eftersom vi kan representera tal noggrant kring noll. D\u00e4rmed undviker vi division med noll och kvoten <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B%28x-y%29+%2B+%5Cvarepsilon%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\\frac{x-y}{(x-y) + \\varepsilon}' title='\\frac{x-y}{(x-y) + \\varepsilon}' class='latex' \/> blir 0. Allts\u00e5 g\u00e4ller det f\u00f6r formeln <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%282%26%238242%3B%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='(2&#8242;)' title='(2&#8242;)' class='latex' \/> \u00e4ven att <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=f%28x%2Cy%29+%3D+x&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='f(x,y) = x' title='f(x,y) = x' class='latex' \/> ifall <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%3D+y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x = y' title='x = y' class='latex' \/>.<\/p>\n<p>Vi har allts\u00e5 lyckats trolla fram en formel som med hj\u00e4lp av datorber\u00e4kningar l\u00f6ser ett matematiskt sett om\u00f6jligt problem. Dock har formeln sina begr\u00e4nsningar; t.ex. f\u00e5r talen <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x' title='x' class='latex' \/> och <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=y&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y' title='y' class='latex' \/> ej vara f\u00f6r sm\u00e5, f\u00f6r d\u00e5 skulle additionen av talet <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Cvarepsilon&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\\varepsilon' title='\\varepsilon' class='latex' \/> p\u00e5verka det slutliga resultatet som formeln <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%282%26%238242%3B%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='(2&#8242;)' title='(2&#8242;)' class='latex' \/> ger. I de flesta fallen \u00e4r precisionsproblemen i decimaltalsr\u00e4kningen n\u00e5got man f\u00f6rs\u00f6ker undvika (se t.ex. <a title=\"Floating_point#Accuracy_problems\" href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Floating_point#Accuracy_problems\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Wikipedia-artiklen<\/a> om \u00e4mnet), men i vissa fall kan man faktiskt dra nytta av dem. Det \u00e4r bra att komma ih\u00e5g att begr\u00e4nsningar som datorer st\u00e4ller inte alltid \u00e4r endast negativa; i vissa fall kan vi p.g.a. begr\u00e4nsningarna l\u00f6sa problem som annars vore ol\u00f6sliga.<\/p>\n<p>Jag vill till sist tacka Lasse f\u00f6r id\u00e9n till artikeln! Den som \u00e4r intresserad att l\u00e4ra sig mer om \u00e4mnet kan b\u00f6rja t.ex. med Wikipedia-sidan <a title=\"IEEE floating point\" href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/IEEE_floating_point\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">IEEE floating point<\/a>.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Sebbe<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En betydande del av den nutida forskningen inom matematik anv\u00e4nder datorer som hj\u00e4lpmedel. Naturligtvis \u00e4r anv\u00e4ndningen av datorer mest utspridd i till\u00e4mpad matematik och i statistik (bl.a. i form av Monte Carlo-metoder), men dataprogram kan \u00e4ven anv\u00e4ndas f\u00f6r att bevisa satser som k\u00e4nns v\u00e4ldigt teoretiska. Det mest v\u00e4lk\u00e4nda exemplet l\u00e4r vara beviset p\u00e5 fyrf\u00e4rgssatsen. Datorer &hellip; <a href=\"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/ren-matematik-vs-datamatematik\/\" class=\"more-link\">Forts\u00e4tt l\u00e4sa <span class=\"screen-reader-text\">Ren matematik, datamatematik och hur man kan l\u00f6sa det ol\u00f6sliga<\/span> <span class=\"meta-nav\">&rarr;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[83,5],"tags":[57],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/847"}],"collection":[{"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=847"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/847\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1981,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/847\/revisions\/1981"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=847"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=847"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=847"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}