{"id":1927,"date":"2013-06-20T00:00:52","date_gmt":"2013-06-19T21:00:52","guid":{"rendered":"http:\/\/spektraklet.wordpress.com\/?p=209"},"modified":"2018-03-15T16:08:35","modified_gmt":"2018-03-15T13:08:35","slug":"affina-rum-och-deras-betydelse-for-fysiken","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/affina-rum-och-deras-betydelse-for-fysiken\/","title":{"rendered":"Affina rum och deras betydelse f\u00f6r fysiken"},"content":{"rendered":"

Man h\u00f6r ofta fysiker s\u00e4ga att vi lever i en 4-dimensionell rumtid. S\u00e4llan, eller aldrig, preciseras \u00e4nd\u00e5 inte vad sj\u00e4lva rumtiden \u00e4r<\/em>, dvs vilket slags matematiskt objekt rumtiden borde modelleras som. Vanligen brukar man uppfatta rumtiden som en m\u00e4ngd<\/em> fysikaliska punkter, eller h\u00e4ndelser som de ibland ocks\u00e5 kallas. Fr\u00e5gan kvarst\u00e5r dock vilken struktur denna m\u00e4ngd b\u00f6r vara f\u00f6rsedd med f\u00f6r att kunna kallas ett 4-dimensionellt rum. De flesta som har l\u00e4st lite matematik \u00e4r bekanta med begreppet vektorrum och k\u00e4nner till att vektrorrum har en v\u00e4ldefinierad dimension. Fr\u00e5gan \u00e4r d\u00e5 om vi borde modellera rumtiden som ett 4-dimensionellt vektorrum, kanske rentav \\mathbb{R}^4 .<\/p>\n

F\u00f6r att unders\u00f6ka saken kommer vi f\u00f6rst att fokusera p\u00e5 ett exempel som \u00e4r l\u00e4ttare att visualisera: det fysikaliska rummet vid en given tidpunkt (h\u00e4r anv\u00e4nds allts\u00e5 den klassiska synvinkeln d\u00e4r tiden \u00e4r absolut). Inom klassisk mekanik brukar man s\u00e4ga att vi vid varje fixerad tidpunkt befinner oss i ett 3-dimensionellt rum. Man kan igen fr\u00e5ga sig om det r\u00f6r sig om ett 3-dimensionellt vektorrum, t.ex. \\mathbb{R}^3 . Intuitivt verkar det klart att rummet i n\u00e5got avseende m\u00e5ste vara 3-dimensionellt eftersom vi kan beskriva<\/em> rummet vid en given tidpunkt med hj\u00e4lp av ett 3-dimensionellt koordinatsystem. Mer exakt kan man skapa en entydig motsvarighet<\/em> mellan det fysikaliska rummet vid en fixerad tidpunkt och \\mathbb{R}^3 efter ett val av origo (dvs den fysikaliska punkt som avbildas p\u00e5 \\bar{0} ) samt riktningar och skalor f\u00f6r koordinataxlarna.<\/p>\n

Rent matematiskt har vi allts\u00e5 en bijektion fr\u00e5n rummet av fysikaliska punkter till \\mathbb{R}^3 . Denna bijektion \u00e4r f\u00f6rst\u00e5s beroende av vilken punkt vi v\u00e4ljer som origo, och hur vi v\u00e4nder koordinataxlarna. Men det finns inget naturligt origo i rummet: vilken punkt som helst kan avbildas p\u00e5 \\bar{0}. Detta demonstrerar att det inte \u00e4r korrekt att uppfatta det fysikaliska rummet som ett vektorrum.<\/p>\n

Men vad \u00e4r i s\u00e5 fall v\u00e5rt fysikaliska rum? Kan vi f\u00f6rse rummet med en struktur som i n\u00e5got avseende \u00e4r linj\u00e4r, men som trots det inte tilldelar n\u00e5gon punkt en s\u00e4rstatus som origo? Detta \u00e4r precis vad ett affint rum \u00e4r! Ett affint rum definieras som en m\u00e4ngd S tillsammans med ett vektorrum V och en gruppverkan \\Phi : V \\times S \\rightarrow S. Vi st\u00e4ller dessutom f\u00f6ljande krav p\u00e5 \\Phi:<\/p>\n

    \n
  1. \\Phi \u00e4r trogen<\/em>: ifall v \\in V och \\Phi(v,p)=p f\u00f6r alla p i S s\u00e5 \u00e4r v=\\bar{0}.<\/li>\n
  2. \\Phi \u00e4r transitiv<\/em>: f\u00f6r alla p,q \\in S existerar n\u00e5got v \\in V f\u00f6r vilket q=\\Phi(v,p).<\/li>\n<\/ol>\n

    Pga att gruppen (V,+) \u00e4r kommutativ s\u00e5 inneb\u00e4r dessa tv\u00e5 villkor ocks\u00e5 att den enda vektor som fixerar n\u00e5gon<\/em> punkt \u00e4r nollvektorn. Dessutom ser vi att vektorn v i det andra villkoret \u00e4r unik. Man kan intuitivt tolka \\Phi(v,p) som ”den punkt i S d\u00e4r vi hamnar ifall vi startar i punkten p, och r\u00f6r oss i vektorn v:s riktning en str\u00e4cka som motsvarar v:s l\u00e4ngd.” Av denna anledning betecknar vi vanligen \\Phi(v,p) med v+p. Dimensionen<\/em> f\u00f6r ett affint rum definieras som det motsvarande vektorrummets dimension.<\/p>\n

    Genom att fixera en godtycklig punkt p \\in S f\u00e5r vi nu en bijektion \\beta: V \\rightarrow S, \\beta(v) = v+p. \u00a0 Anta nu att dim (V) = n < \\infty . Fixera en bas f\u00f6r V och l\u00e5t c: V \\rightarrow \\mathbb{R}^n vara dess koordinatavbildning. Nu \u00e4r c \\circ \\beta^{-1} : S \\rightarrow \\mathbb{R}^n en bijektion.<\/p>\n

    Vi ser att konstruktionen av bijektionen S \\rightarrow \\mathbb{R}^n motsvarar de steg som m\u00e5ste tas f\u00f6r att konstruera koordinater f\u00f6r det fysikaliska rummet. Valet av p inneb\u00e4r ett val av origo, och valet av bas f\u00f6r V inneb\u00e4r ett val av koordinataxlarnas riktning samt skalor.
    \nS\u00e5ledes ger ett 3-dimensionellt affint rum en realistisk bild av det fysikaliska ”klassiska” rummet vid en fixerad tidpunkt. P\u00e5 motsvarande s\u00e4tt kan vi modellera galileisk eller relativistisk rumtid som 4-dimensionella affina rum. Ut\u00f6ver detta \u00e4r det motsvarande vektorrummet V i fallet av rumtid f\u00f6rsedd med extra struktur som beskriver tidens natur (annars skulle det ju inte finnas n\u00e5gon skillnad mellan galileisk och relativistisk rumtid!), men detta behandlas inte n\u00e4rmare h\u00e4r.<\/p>\n

    En fysiker kunde h\u00e4r p\u00e5peka att b\u00e5de den galileiska och relativistiska rumtiden som beskrivits ovan har sina brister. Detta \u00e4r helt korrekt, och v\u00e5ra modeller fungerar f\u00f6rst\u00e5s endast inom vissa gr\u00e4nser. Galileisk rumtid har ett ganska begr\u00e4nsat till\u00e4mpningsomr\u00e5de eftersom den endast fungerar vid l\u00e5ga relativa hastigheter. Den (flata) relativistiska rumtid som vi h\u00e4r har beskrivit fungerar \u00e4ven vid h\u00f6ga hastigheter, men den fungerar inte f\u00f6r att beskriva fenomen i n\u00e4rheten av massiva objekt. Ifall man vill beskriva s\u00e5dana fenomen m\u00e5ste rumtiden ist\u00e4llet modelleras som en s.k. pseudo-Riemannsk m\u00e5ngfald, men det \u00e4r en helt annan historia.<\/p>\n

    Avslutningsvis n\u00e4mner jag \u00e4nnu att det finns ett annat ekvivalent s\u00e4tt att definiera affina rum. I detta fall s\u00e4ger man att ett affint rum \u00e4r en m\u00e4ngd S tillsammans med ett vektorrum V och en avbildning \\alpha: S \\times S \\rightarrow V f\u00f6r vilken f\u00f6ljande g\u00e4ller:<\/p>\n

      \n
    1. F\u00f6r varje p \\in S och v \\in V existerar ett unikt element q \\in S s\u00e5 att v= \\alpha(p,q).<\/li>\n
    2. F\u00f6r alla p, q, r \\in S g\u00e4ller \\alpha(p,q)+\\alpha(q,r) = \\alpha(p,r).<\/li>\n<\/ol>\n

      Vektorn \\alpha(p,q) kan tolkas som differensen mellan p och q , eller ”den translation som m\u00e5ste g\u00f6ras f\u00f6r att n\u00e5 q om man startar i p ”.<\/p>\n

      Ifall vi har ett affint rum definierat enligt den ursprungliga definitionen s\u00e5 ger de b\u00e5da kraven p\u00e5 \\Phi att det f\u00f6r alla p, q \\in S existerar exakt en vektor v \\in V s\u00e5 att v+p=q. D\u00e4rmed kan vi definiera \\alpha(p,q)=v. Det \u00e4r nu l\u00e4tt att verifiera att \\alpha uppfyller kraven i den andra definitionen p\u00e5 affina rum. Om vi \u00e5 andra sidan har ett rum som uppfyller den andra definitionen s\u00e5 kan vi p\u00e5 f\u00f6ljande s\u00e4tt definiera ett \\Phi som uppfyller den ursprungliga definitionen: F\u00f6r varje p \\in S och v \\in V definierar vi \\Phi(v,p)=q, d\u00e4r q \u00e4r det unika element i S f\u00f6r vilket v= \\alpha(p,q). D\u00e4rmed har vi sett att definitionerna \u00e4r ekvivalenta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Man h\u00f6r ofta fysiker s\u00e4ga att vi lever i en 4-dimensionell rumtid. S\u00e4llan, eller aldrig, preciseras \u00e4nd\u00e5 inte vad sj\u00e4lva rumtiden \u00e4r, dvs vilket slags matematiskt objekt rumtiden borde modelleras som. Vanligen brukar man uppfatta rumtiden som en m\u00e4ngd fysikaliska punkter, eller h\u00e4ndelser som de ibland ocks\u00e5 kallas. Fr\u00e5gan kvarst\u00e5r dock vilken struktur denna m\u00e4ngd … Forts\u00e4tt l\u00e4sa Affina rum och deras betydelse f\u00f6r fysiken<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[82,5],"tags":[56],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1927"}],"collection":[{"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1927"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1927\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6109,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1927\/revisions\/6109"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1927"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1927"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1927"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}