{"id":2478,"date":"2018-12-25T17:32:47","date_gmt":"2018-12-25T14:32:47","guid":{"rendered":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/?p=2478"},"modified":"2022-01-04T15:55:35","modified_gmt":"2022-01-04T12:55:35","slug":"rita-med-fourier","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/rita-med-fourier\/","title":{"rendered":"Rita med Fourier"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a><\/p>\n

Upprepade g\u00e5nger under det senaste \u00e5ret n\u00e4r jag har \u00f6ppnat min favoritsida att prokrastinera p\u00e5, YouTube, dyker d\u00e4r upp konstigt fascinerande videor om Fourierserier. Som fysiker borde det ju vara en sj\u00e4lvklarhet att de intresserar, men de r\u00e5kar h\u00f6ra till en elitgrupp av koncept som l\u00e4tt passar in p\u00e5 subredditen r\/oddlysatisfying<\/em> f\u00f6r allm\u00e4nheten att dr\u00e4gla \u00f6ver. Ifall man vill ha exempel direkt fr\u00e5n kungen p\u00e5 att visualisera matematik s\u00e5 har 3Blue1Brown gjort en video<\/a> om Fouriertransform d\u00e4r han djupare f\u00f6rklarar den, men enkelt sagt s\u00e5 kan den dela upp signaler till frekvenserna de best\u00e5r av. Vad som nyligen f\u00e5ngade mitt intresse var att man kan anv\u00e4nda Fouriertransform f\u00f6r att rita. Genom att g\u00f6ra tillr\u00e4ckligt m\u00e5nga kontrollerade cirkelr\u00f6relser s\u00e5 har man en bild. SmarterEveryDay var i kontakt med en postdoc som kunde g\u00f6ra det och gjorde en video<\/a> som ocks\u00e5 \u00e4r v\u00e4rd att kolla p\u00e5! Det h\u00e4r om n\u00e5gonting \u00e4r varf\u00f6r Fouriers uppt\u00e4ckter \u00e4r s\u00e5 viktiga. Vem bryr sig om radio och elektronik och alla wannabe viktiga till\u00e4mpningar som har att g\u00f6ra med signalprocessering n\u00e4r man ist\u00e4llet kan rita katter. Men hur g\u00e5r det till? Genom att ta koordinaterna fr\u00e5n en bild kan man r\u00e4kna ut koefficienterna till Fouriertransform. Animerat i komplexa planet ser fyra termer ut s\u00e5 h\u00e4r:\"\"<\/a> vilket kan beskrivas explicit med<\/p>\n

\\begin{aligned} &(-14.60 -1.25i) e^{2it} \\\\ + &(12.41 +13.86i) e^{1it} \\\\ + &( 6.32 -22.28i) e^{0it} \\\\ + &(-43.30 +34.76i) e^{-1it} \\\\ + &(-17.19 +27.46i) e^{-2it} \\end{aligned} <\/p>\n

De komplexa talen framf\u00f6r exponenten ger radien hos cirklarna och talet inuti exponenten s\u00e4ger hur fort cirkeln snurrar samt \u00e5t vilket h\u00e5ll (minus \u00e4r medsols och plus \u00e4r motsols). Mittpunkten f\u00f6r den innersta cirkeln \u00e4r (6.32, -22.28i) eftersom e0*it<\/sup>=1. De komplexa koefficienterna framf\u00f6r exponenten kan r\u00e4knas ut fr\u00e5n integralen<\/p>\n

c_n = \\frac{1}{2\\pi} \\int_{0}^{2\\pi} f(t) e^{-i n t} dt <\/p>\n

d\u00e4r f(t) \u00e4r bildens koordinater. Man summerar ihop alla termer som d\u00e5 baserar sig p\u00e5 diskret Fourier transform och det i sin tur ger alla tal f\u00f6r att rita valfri bild med cirklar!<\/p>\n

z(t) = \\sum_{n=-m}^{m} c_n e^{-i n t} <\/p>\n

Man kan sj\u00e4lv best\u00e4mma hur m\u00e5nga termer man vill r\u00e4kna ut, det blir noggrannare och tar l\u00e4ngre desto st\u00f6rre m. Det som animerades tidigare var baserat p\u00e5 en hoppeligen v\u00e4lk\u00e4nd bild med m=2. Kan vi urskilja vad det \u00e4r om man v\u00e4ljer m=75?<\/p>\n

\n

\"\"<\/a> Oddly satisfying, right? God forts\u00e4ttning!
\nDaniel<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Upprepade g\u00e5nger under det senaste \u00e5ret n\u00e4r jag har \u00f6ppnat min favoritsida att prokrastinera p\u00e5, YouTube, dyker d\u00e4r upp konstigt fascinerande videor om Fourierserier. Som fysiker borde det ju vara en sj\u00e4lvklarhet att de intresserar, men de r\u00e5kar h\u00f6ra till en elitgrupp av koncept som l\u00e4tt passar in p\u00e5 subredditen r\/oddlysatisfying f\u00f6r allm\u00e4nheten att dr\u00e4gla … Forts\u00e4tt l\u00e4sa Rita med Fourier<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":25,"featured_media":2481,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[87,5],"tags":[139,138,56],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2478"}],"collection":[{"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/users\/25"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2478"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2478\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5924,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2478\/revisions\/5924"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2481"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2478"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2478"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2478"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}