{"id":2112,"date":"2018-04-24T16:03:05","date_gmt":"2018-04-24T13:03:05","guid":{"rendered":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/?p=2112"},"modified":"2018-04-24T16:15:48","modified_gmt":"2018-04-24T13:15:48","slug":"det-absolut-simplaste-beviset-att-%e2%88%9a2-ar-irrationellt","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/det-absolut-simplaste-beviset-att-%e2%88%9a2-ar-irrationellt\/","title":{"rendered":"Det absolut simplaste beviset att \u221a2 \u00e4r irrationellt"},"content":{"rendered":"

Har du n\u00e5gonsin l\u00e4st standardbeviset f\u00f6r att\u00a0\u221a2 \u00e4r irrationellt<\/a> och t\u00e4nkt n\u00e5got av f\u00f6ljande?
\n– ”Usch, delbarhet”,
\n– ”Fy, motantaganden”, eller
\n– ”Det h\u00e4r beviset var helt f\u00f6r kort!”
\nWorry not! H\u00e4r delar jag med mig mitt favoritbevis, som \u00e4r s\u00e5 sj\u00e4lvklart och trivialt att till och med humanister kunde uppskatta dess sk\u00f6nhet!<\/p>\n

Vi p\u00e5minner oss \u00e4nnu om att ett rationellt tal kan skrivas i formen \\frac{a}{b}, d\u00e4r a och b \u00e4r heltal och b\u00a0\u2260 0. Ett irrationellt tal kan allts\u00e5 inte skrivas p\u00e5 detta vis.<\/p>\n

P\u00e5st\u00e5ende:<\/strong><\/h4>\n

\u221a<\/strong>2 \u00e4r irrationellt.<\/p>\n

Bevis:<\/strong><\/h4>\n

Vi unders\u00f6ker talf\u00f6ljder\u00a0(a_n)_{n \\geq 0}\u00a0 med kraven
\nA) a_n \u00e4r rationellt f\u00f6r alla\u00a0n \\geq 0
\nB) a_{n+1} = 2a_n^2 - 1 f\u00f6r alla\u00a0n \\geq 0
\nC) a_i = a_j f\u00f6r n\u00e5got\u00a0i \\neq j<\/p>\n

Det visar sig att det finns ett \u00e4ndligt antal talf\u00f6ljder som uppfyller dessa krav. Vi kan i sj\u00e4lva verket lista upp dem alla.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Om\u00a0|a_0| > 1 f\u00f6ljer det fr\u00e5n krav B att talf\u00f6ljden \u00e4r str\u00e4ngt v\u00e4xande, dvs inget v\u00e4rde upprepas och krav C uppfylls inte. Vi kan allts\u00e5 anta\u00a0|a_0| \\leq 1<\/p>\n

Nu kan man substituera\u00a0a_0 = \\cos{t} f\u00f6r n\u00e5got\u00a0t \\in [0, \\pi]. Detta kommer att ge oss en icke- rekursiv formel f\u00f6r talf\u00f6ljden.
\nL\u00e5t oss visa med induktion att\u00a0a_n = \\cos(2^nt) f\u00f6r alla\u00a0n \\geq 0.<\/p>\n

Grundsteg:
\n<\/strong>a_0 = \\cos{t} = \\cos{(2^0t)}<\/p>\n

Induktionssteg:
\n<\/strong>Med hj\u00e4lp av formeln f\u00f6r dubbla vinklar, \\cos{(2x)} = 2\\cos^2{x} - 1,
\nf\u00e5r vi
\na_n = \\cos{(2^nt)} \\implies a_{n+1} = 2a_n^2 - 1 = 2\\cos^2{(2^nt)} - 1 = \\cos{(2^{n+1}t)}<\/p>\n

P\u00e5st\u00e5endet\u00a0a_n = \\cos(2^nt) g\u00e4ller allts\u00e5 f\u00f6r alla\u00a0n \\geq 0.
\nNu g\u00e4ller det att hitta passliga v\u00e4rden p\u00e5\u00a0t \\in [0, \\pi] s\u00e5 att a_n = \\cos{(2^nt)} \u00e4r rationellt f\u00f6r alla\u00a0a_n \\geq 0 (krav A). I sj\u00e4lva verket r\u00e4cker det, att\u00a0\\cos{t} \u00e4r rationellt, eftersom (”selv\u00e4sti n\u00e4hd\u00e4\u00e4n”) d\u00e5 \u00e4r ocks\u00e5\u00a0\\cos{(2t)}, \\cos{(4t)}, \\cos{(8t)} \\dots rationella enligt formeln f\u00f6r dubbla vinklar.<\/p>\n

F\u00f6r att krav C ska h\u00e5lla, m\u00e5ste
\n\\cos{(2^it)} = \\cos{(2^jt)} f\u00f6r n\u00e5got\u00a0i \\neq j<\/p>\n\\implies 2^it = \\pm 2^jt + 2k\\pi, k \\in \\mathbb{Z} \\\\ \\implies t = \\frac{2k}{2^i \\pm 2^j}\\pi\n

d\u00e4r t\u00e4ljaren och n\u00e4mnaren \u00e4r heltal och n\u00e4maren \u00e4r olika noll.
\nTalet t m\u00e5ste allts\u00e5 vara en rationell multipel av pi!<\/p>\n

Nu finns ett anv\u00e4ndbart resultat, Niven’s Theorem<\/a>, som s\u00e4ger att de enda rationella multiplarna av pi inom [0, \\frac{\\pi}{2}] vars cosinus ocks\u00e5 \u00e4r rationellt \u00e4r 0,\u00a0 \\frac{\\pi}{3}\u00a0 och\u00a0 \\frac{\\pi}{2}. Satsens bevis anv\u00e4nder sig lyckligtvis inte av talets\u00a0\u221a2 irrationalitet.<\/p>\n

Med Niven’s Theorem och n\u00e5gra trigonometriska identiteter f\u00e5r vi att t \\in \\{0, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{2\\pi}{3}, \\pi \\}, varav f\u00f6ljer\u00a0a_0 \\in \\{1, \\frac{1}{2}, 0, -\\frac{1}{2}, -1 \\}<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Alla f\u00f6ljder som uppfyller kraven A, B och C \u00e4r allts\u00e5:
\n1, 1, 1, 1, 1, \\dots
\n\\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}, \\dots
\n0, -1, 1, 1, 1,\u00a0\\dots
\n-\\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}, \\dots
\n-1, 1, 1, 1, 1,\u00a0\\dots<\/p>\n

Men nu m\u00e4rker vi ju, att talf\u00f6ljden
\n\\frac{1}{\\sqrt{2}}, 0, -1, 1, 1, \\dots
\nuppfyller kraven B och C, men hittas inte p\u00e5 v\u00e5r lista. D\u00e5 m\u00e5ste krav A g\u00e5 fel, och eftersom 0, -1 och 1 tydligt \u00e4r rationella tal, m\u00e5ste
\n\\frac{1}{\\sqrt{2}} och d\u00e4rmed\u00a0 \\sqrt{2} vara irrationellt, Q.E.D.<\/p>\n

Funderingar<\/h4>\n

Det h\u00e4r beviset \u00e4r ett gott exempel p\u00e5 hur samma matematiska p\u00e5st\u00e5ende ofta kan bevisas p\u00e5 m\u00e5nga olika s\u00e4tt. Standardbeviset p\u00e5minner mest om\u00a0talteori<\/em>, ofta kallad heltalens matematik. Beviset ovan anv\u00e4nder sig mer av\u00a0algebra\u00a0<\/em>(reella tal och deras r\u00e4kneregler) och\u00a0analys\u00a0<\/em>(f\u00f6r\u00e4ndringens matematik, dvs. talf\u00f6ljder, derivator…).<\/p>\n

Ifall du l\u00e4ser detta stycke och inte har l\u00e4st beviset, s\u00e5 g\u00f6r det inte n\u00e5t. Alla \u00e4r inte intresserade av matematik och ska inte heller beh\u00f6va vara det. Men p\u00e5 samma s\u00e4tt som en poet gillar att skriva och l\u00e4sa dikter kan en matematiker bli riktigt begeistrad av ett vackert bevis. Det \u00e4r alltid bra att ha ett \u00f6ppet sinne f\u00f6r andras intressen, \u00e4ven om man inte vet vad de talar om. D\u00e5 kanske det \u00e4r dags f\u00f6r mig att plocka ner diktboken fr\u00e5n hyllan…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Har du n\u00e5gonsin l\u00e4st standardbeviset f\u00f6r att\u00a0\u221a2 \u00e4r irrationellt och t\u00e4nkt n\u00e5got av f\u00f6ljande? – ”Usch, delbarhet”, – ”Fy, motantaganden”, eller – ”Det h\u00e4r beviset var helt f\u00f6r kort!” Worry not! H\u00e4r delar jag med mig mitt favoritbevis, som \u00e4r s\u00e5 sj\u00e4lvklart och trivialt att till och med humanister kunde uppskatta dess sk\u00f6nhet! Vi p\u00e5minner … Forts\u00e4tt l\u00e4sa Det absolut simplaste beviset att \u221a2 \u00e4r irrationellt<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":21,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[87,42],"tags":[57],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2112"}],"collection":[{"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/users\/21"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2112"}],"version-history":[{"count":23,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2112\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2142,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2112\/revisions\/2142"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2112"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2112"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/spektrum.fi\/spektraklet\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2112"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}