Månadsarkiv: november 2015

Knutar

Knutar och knopar är användbara i alla möjliga sammanhang, till exempel då man förtöjer båtar eller knyter skor. Det finns alla möjliga knopar för olika ändamål och det skulle ju förstås vara intressant att veta hur många knopar det egentligen finns. Inom topologin klassificerar man knopar med hjälp av dess symmetri och antalet gånger repet korsar sig själv. Till skillnad från knutar man använder i vardagen, så är repändarna inom knutteori förenade så att knuten inte går att knyta upp. Den enda icke-knuten är en cirkel där repet inte korsar sig själv en enda gång. Däremot finns det en hel del icke-knutar som är så ”ihoptvinnade” att man inte direkt ser att det inte är en egentlig knut.

images (1)

Olika knutar och knutkonfigurationer

Antalet olika knutar man för tillfället känner till:

Antalet ”korsningar”         Antalet knutar
3                                                 1
4                                                 1
5                                                 2
6                                                 3
7                                                 7
8                                                 21
9                                                 49
10                                                165
11                                                552
12                                                2176
13                                                9988
14                                                46 972
15                                                253 293
16                                                1 388 705

Två knutar är identiska om man kan manipulera den ena så att den blir likadan som den andra utan att klippa av repet. Däremot är det inte helt lätt att komma fram till vilka knutar som är identiska och vilka som är olika. År 1899 publicerade C. N. Little en lista på 43 olika knutar som alla hade tio ”korsningar”. Det visade sig först 75 år senare att det bland dessa 43 knutar fanns två stycken identiska knutar, nämligen knutarna 10_161 och 10_162. Det var juristen Kenneth Perko som genom att manipulera knutar gjorda av rep på sitt golv kom fram till att två av Littles knutar var identiska. De här två identiska knutarna kallas därför för Perkopar. Här nedan är knut 10_161 och 10_162, så du kan själv prova att lösa problemet.

images

Perkopar

I och med denna upptäckt märker man att det inte krävs att man är matematiker på heltid för att göra intressanta upptäckter inom matematik. Frågeställningen i sig är väldigt enkel; ”Är de här två knutarna identiska?”, men svaret kan vara mycket svårt att få fram. På grund av det här krävs det ändå inte så mycket matematisk kunskap för det här, utan man kan, så som Perko, bevisa svaret med hjälp av riktiga rep och knutar. Man måste bara vara tillräckligt intresserad och investerar lite tid i det hela.

Knutar är väldigt bekanta och vardagliga fenomen, som används i många former av handarbete, till exempel stickning, virkning och makramé. Forskningen inom knutteori handlar till stor del om knutgrupper och att klassificera knutar. Knutteorin har även kopplingar till matematiska metoder inom statistisk mekanik och kvantfältsteori. Dessutom kan knutteori användas för att förstå molekylers kiralitet och hur enzymer bearbetar DNA.

Som en äkta fysiker och experimentalist kännde jag mig förstås tvungen att knyta några egna knutar. Jag vågade mig ändå inte på att börja manipulera Perkos knutar, utan jag gjorde istället två stycken knutar med åtminstone 100 korsningar. De kan användas till exempelvis som nyckelringar.

20151107_193546-120151108_112952-1